Po co Ci metoda bilansu i kontroli? Decyzja na start
Główna idea w jednym zdaniu
Metoda bilansu i kontroli to proceduralny sposób rozwiązywania zadań z fizyki przez zapisanie równowagi tego, co się nie gubi: energii, pędu, ładunku, masy lub strumieni – oraz obowiązkowe sprawdzenie poprawności wyniku zestawem szybkich testów.
Kiedy opłaca się po nią sięgnąć
Gdy w zadaniu pojawia się hasło „bez strat”, „izolowany układ”, „zachowanie energii/pędu/ładunku”.
Gdy obliczenia równań ruchu są długie, a szukasz krótszej drogi.
Gdy pytanie dotyczy „przed” i „po” (np. zderzenia, mieszanie, spadek swobodny, rozładowanie kondensatora – w pewnych momentach).
Typowe pytania ucznia i szybkie odpowiedzi
„Co tu bilansować?” – Wybierz wielkość, która się zachowuje w tym procesie (energia, pęd, ładunek) albo strumienie (moc, prąd, przepływ objętości).
„Czy mogę pominąć straty?” – Tylko jeśli są wyraźnie znikome lub zadanie mówi „bez tarcia/oporów”. Inaczej uwzględnij pracę sił niekonserwatywnych lub spadki napięcia na rezystorach.
„Jak sprawdzić wynik?” – Jednostki, znaki, graniczne przypadki, rząd wielkości, wykres/intuicja, alternatywna metoda, zgodność z treścią i danymi.
Zacznij od decyzji: co się w tym zadaniu nie gubi? Jeśli odpowiesz na to pytanie, jesteś w połowie drogi.
Procedura krok po kroku: od bilansu do kontroli
Krok 1. Zdefiniuj układ i granice
Wskaż, co należy do układu, a co jest otoczeniem. To decyduje, czy np. energia jest zachowana, czy do układu dopływa praca lub ciepło. Przykład: zderzenie kul – układ: obie kule; zjeżdżanie po równi z tarciem – układ: ciało, ale praca tarcia to transfer energii do otoczenia.
Błąd do uniknięcia: mieszanie opisu „układu” w jednym kroku (raz jako całość, raz jako wybrany element) bez przeliczenia sił wewnętrznych/zewnętrznych.
Krok 2. Wybierz wielkości do zbilansowania
Energia całkowita: przy siłach konserwatywnych lub gdy znasz pracę sił niekonserwatywnych.
Pęd (i moment pędu): gdy siły zewnętrzne w krótkim czasie są zaniedbywalne (zderzenia, odrzut).
Ładunek i prąd: prawa Kirchhoffa, kondensatory, rozgałęzienia.
Masa/objętość i strumienie: przepływy płynów, równanie ciągłości.
Źródło: Pexels | Autor: https://kaboompics.com/
Krok 3. Zapisz równanie bilansu
Wzorzec: „Zasób końcowy = zasób początkowy + to, co dopłynęło – to, co wypłynęło ± praca/straty”. Konkretne formy:
Wybierz model: g = 9,81 m/s² czy 10 m/s²? Tarcie stałe czy zależne od prędkości? Powietrze pomijasz czy nie? Zapisz to wyraźnie – łatwiej wtedy bronić wyniku i weryfikować granice.
Krok 5. Rozwiązuj algebraicznie najkrótszą drogą
Upraszczaj wcześnie: redukuj masy, skracaj wspólne czynniki, trzymaj symbole do końca i podstaw liczby na samym końcu. Pilnuj jednostek przy każdym przekształceniu.
Krok 6. Kontrola jakości
Jednostki i wymiary w obu stronach równania.
Granice: co jeśli pewne parametry dążą do zera albo nieskończoności?
Rząd wielkości: czy wynik ma sens fizyczny?
Znaki: energia, praca, napięcie, prędkość – kierunki zgodne z przyjętymi zwrotami.
Prosty test alternatywny: inna metoda, przybliżenie, wykres.
Przechodź te kroki za każdym razem – wejdą w nawyk i skrócą drogę do punktów na maturze.
Bilans energii: szybkie zwycięstwa i częste pułapki
Ruch bez tarcia: energia mechaniczna się zachowuje
Scenariusz: ciało zjeżdża z wysokości h po gładkiej równi. Bilans: E_początkowa = m g h, E_końcowa = E_kin = 1/2 m v². Równanie: m g h = 1/2 m v², stąd v = sqrt(2 g h). Masa skraca się – to sygnał, że niezależność od m jest tu sensowna.
Pułapka: mylenie wysokości geometrycznej z długością równi – w energii grawitacyjnej liczy się tylko spadek wysokości, nie długość toru.
Ruch z tarciem: praca sił niekonserwatywnych
Scenariusz: klockek m przesuwa się po chropowatej równi o długości L, współczynnik tarcia kinetycznego μ_k, start z prędkości v0. Bilans energii: E_kin,0 + E_pot,0 + W_tarcia = E_kin,L + E_pot,L.
Jeśli równia pozioma, to E_pot się nie zmienia. Praca tarcia: W_tarcia = − f_k L = − μ_k m g L (minus, bo tarcie zabiera energię mechaniczną). Wynik: 1/2 m v0² − μ_k m g L = 1/2 m v_L². Warunek fizyczny: jeśli μ_k m g L > 1/2 m v0² – ciało nie dojedzie do końca z dodatnią prędkością; wówczas zatrzyma się wcześniej (sprawdź znak pod pierwiastkiem!).
Pułapka: używanie „praca = siła razy droga” bez zwrotów – nie zapomnij o minusie dla sił rozpraszających.
Mieszanie i przemiany cieplne: energia cieplna jako waluta
Scenariusz: do wody o masie m1 i temperaturze T1 wlewamy wodę m2, T2, izolowane naczynie, bez parowania. Bilans: c_w m1 (T_k − T1) + c_w m2 (T_k − T2) = 0. Rozwiązanie: T_k = (m1 T1 + m2 T2) / (m1 + m2).
Pułapka: mieszanie substancji o różnych ciepłach właściwych lub z przemianą fazową (lód). Gdy lód, dolicz ciepło topnienia: c_w m_woda (T_k − T_woda) + c_lód m_lód (0 − T_lodu) + λ m_stopionego + c_w m_stopionego (T_k − 0) = 0. Sprawdź, czy lód zdąży się w całości stopić – to warunek brzegowy decydujący o formule.
Bilans mocy w ruchu ustalonym
Samochód jedzie ze stałą prędkością v po poziomej drodze. Moc silnika P idzie na pokonanie sił oporu: P = F_oporu v. Jeśli F_oporu ≈ k v² (opór powietrza), mamy P = k v³. Kontrola: wzrost prędkości o 10% powinien zwiększyć zapotrzebowanie mocy o około 33% – test rzędu wielkości sprawdza intuicję.
Zamykając tę sekcję: gdy myślisz „energia”, najpierw pytaj o straty – to one najczęściej psują piękne skróty.
Bilans pędu: wybieraj, gdy kontakt krótki i siły zewnętrzne „nie zdążą” zadziałać
Sygnały decyzyjne: zderzenia, odrzut, wybuch, odbicie – czas oddziaływania krótki, opory i ciężar nie zmieniają w tym krótkim oknie całkowitego pędu układu.
Algorytm dla zderzeń 1D (szybka ścieżka)
Układ = wszystkie ciała biorące udział w zderzeniu.
Oś z osią zderzenia; ustal zwroty dodatnie.
Bilans pędu: m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 (v – prędkości przed, u – po).
Dodatkowe równanie wybierz wg typu zderzenia:
Sprężyste centralne: energia kinetyczna zachowana.
DOSKONALE niesprężyste: ciała łączą się – u1 = u2.
Półsprężyste: współczynnik restytucji e = (u2 − u1)/(v1 − v2).
Rozwiąż symbolicznie, na końcu podstaw liczby.
Pułapki: liczenie energii w niesprężystym (nie zachowuje się), złe znaki przy prędkościach przeciwnych, mieszanie układu (np. tylko jedna kula w bilansie). Kontrola: sprawdź granice – gdy m2 → ∞, wynik powinien dawać odbicie „od ściany”.
Impuls i odrzut: jedno równanie, szybka odpowiedź
Rakieta/armata: m v_koniec = m v_pocz + ∫F_zewn dt + p_strugi. Gdy siły zewnętrzne w czasie odrzutu są małe, pęd układu (wyrzut + wyrzucane masy) zachowany. Krótki test: jeśli czas kontaktu jest milisekundowy, g i tarcie są drugorzędne – uwzględniaj je tylko przez impuls, jeśli podane.
Mini-przykład: strzelec wystrzeliwuje – większa masa broni → mniejsza prędkość odrzutu. Sprawdzenie: iloczyny m·v po obu stronach muszą się zbilansować co do zwrotu i wartości.
Moment pędu: wybierz punkt, który „gasi” siły reakcji
Kolizje z obrotem lub uderzenia w drążek: bilans momentu pędu względem punktu, w którym działają nieznane siły zewnętrzne (np. zawias) – ich moment chwilowo znika. Wzór: L_koniec = L_początek + ∫M_zewn dt. W praktyce dla zderzeń krótkich ∫M_zewn dt ≈ 0 wokół dobrze dobranego punktu. Sprawdź jednostki: kg·m²/s i kierunek wektorowy.
Działaj: jeśli kusi Cię energia, ale kontakt jest błyskawiczny – weź pęd. Oszczędzisz rachunków.
Elektryczność: bilans ładunku i napięć bez błądzenia
Relacje elementów: U = R I, U_C = Q/C, I_C = C dU/dt, U_L = L dI/dt.
Rozwiązuj układ; na końcu oceń moce: P_źródeł = P_odbiorników (w stanie ustalonym DC).
Pułapki: niekonsekwentne zwroty – trzymaj się raz przyjętych (+/−). Przepinanie źródeł bez zmiany równań oczek – grozi złym znakiem przy SEM. Kontrola: suma mocy dodatnich i ujemnych = 0 (konwencja odbiorcza).
Kondensatory w przełączaniu: ładunek nie skacze, prąd może
Krok 0: t = 0⁻ → t = 0⁺: U_C ciągłe, I_C może mieć impuls (fizycznie wymaga drogi o małej impedancji).
Dwa kondensatory łączone równolegle (bez rezystancji idealnie): ładunek całkowity zachowany, napięcie wspólne: U_k = (C1 U1 + C2 U2)/(C1 + C2). Energia spada – różnica „idzie w ciepło” w realnych oporach.
RC po skoku: bilans ładunku + wykładnik: U_C(t) = U_końc + (U_start − U_końc) e^{−t/RC}. Sprawdź granice: t → 0 i t → ∞.
Ostrzeżenie: zwarcie naładowanego kondensatora „idealnym” przewodem – w praktyce musi pojawić się R/L, inaczej energia „znika” w modelu. Zawsze dorysuj minimalny R lub L, jeśli bilans energii „nie domyka się”.
Źródło: Pexels | Autor: cottonbro studio
Ruszaj: zanim rozpędzisz całki, wyzeruj obwód bilansami węzłów i ładunku – oszczędzisz nerwów.
Strumienie i ciągłość: proste testy dla płynów
Ciężko ściśliwy i ustalony? Użyj ciągłości + Bernoulliego z korektą strat
Ciągłość: A1 v1 = A2 v2 (ciecz nieściśliwa, brak akumulacji).
Bernoulli (między dwoma przekrojami tej samej linii prądu): p/ρg + v²/2g + z = const − h_strat. Jeśli masz przewężenia, kolanka – dodaj h_strat z katalogu/empirii.
Moc pompy: P ≈ ρ g Q ΔH / η. Kontrola: podwajasz Q → P rośnie w przybliżeniu liniowo (dla stałego ΔH).
Pułapki: stosowanie Bernoulliego przez wiry lub między różnymi strugami; ignorowanie lepkości przy małych średnicach; przy dużych prędkościach powietrza – sprężystość nie jest już „za darmo”. Krótki test: policz liczbę Reynoldsa – jeśli Re ≪ 2000, przepływ laminarny i wzory strat inne niż turbulentne.
Kiedy ciągłość zawodzi
Gdy zbiornik się opróżnia – objętość w zbiorniku się zmienia: bilans masy z akumulacją dm/dt ≠ 0. Gdy prędkości dźwiękowe wchodzą do gry – potrzeba równania stanu i wersji ściśliwej. W praktyce – jeśli ciśnienie zmienia się o zauważalną część ciśnienia atmosferycznego w przewężeniu, bezpieczniej iść w model ściśliwy.
Działaj: najpierw ciągłość i prosta strata – dopiero gdy wynik „gryzie” intuicję, sięgaj po cięższy model.
Mini-lista kontroli przed oddaniem rozwiązania
Układ i granice zapisane jednym zdaniem; straty wymienione wprost.
Jedna wybrana wielkość „nie gubi się” (energia/pęd/ładunek/masa) – nazwana w równaniu.
Zwroty i znaki skoordynowane (rysunek osi/obiegu prądu/strugi obok równań).
Jednostki przechodzą przez każde przekształcenie; wynik w jednostkach pytania.
Testy graniczne zrobione (0, ∞, „bardzo duże/małe”) i rząd wielkości sprawdzony.
Krótki komentarz sensu fizycznego: jedno zdanie „czy to możliwe w realu?”.
Odhacz to w 60 sekund – i licz na pełne punkty za poprawność.
Przewodnik decyzyjny: którą metodę wybrać w 10 sekund
Pytanie „przed–po”, brak strat lub znasz pracę strat → bilans energii.
Krótki impuls, zderzenie, odrzut → bilans pędu (i/lub momentu pędu wokół sprytnego punktu).
Obwody, rozgałęzienia, przełączanie → bilans ładunku i napięć (KCL/KVL) + energia dla kontroli mocy.
Bilans sił i momentów: gdy trzeba znać przebieg ruchu w czasie
Pytanie decyzyjne: czy potrzebujesz przyspieszeń, sił reakcji, uślizgu lub nacisków? Jeśli tak – bierz ΣF i ΣM, nie energię.
Zrób FBD (free-body diagram): jedno ciało = jeden rysunek, wszystkie siły kontaktu i pola, bez „sił wewnętrznych” pary.
Ustal osie zgodne z geometrią ruchu (tangencjalna–normalna, równolegle–prostopadle do powierzchni, x–y).
Napisz równania:
Translacja: ΣF_tan = m a_tan, ΣF_norm = m v²/R (dla ruchu krzywoliniowego), w kartezjańskich: ΣF_x = m a_x, ΣF_y = m a_y.
Obrót wokół stałej osi: ΣM_z = I_z α (moment względem osi przechodzącej przez środek obrotu).
Tarcie:
Spoczynek: |F_t| ≤ μ_s N (nierówność – sprawdź, czy rozwiązanie mieści się w granicy).
Poślizg: F_t = μ_k N, zwrócona przeciwnie do względnego ruchu stycznego.
Kontakt: N ≥ 0. Gdy z równań wychodzi N < 0 – kontakt znika; ustaw N = 0 i przełącz model (lot, brak tarcia).
Kontrola:
Jednostki: N, N·m, m/s², rad/s² – każdy wiersz „zamyka się” jednostkami.
Granice: v → 0 powinno wrócić do statyki; μ_k → 0 usuwa siłę tarcia kinetycznego.
Pułapki: mylenie kierunku tarcia (patrz ruch względny powierzchni), sumowanie momentów wokół punktu, przez który nie przechodzą osie (zapominasz składnika m a × r), traktowanie pochyłej jak osi x–y bez rozkładów sił. Działaj: zacznij od FBD i jednej osi „wzdłuż ruchu” – rachunki same się skrócą.
Zakret i pętla: szybka kontrola siły dośrodkowej
Promień R i prędkość v dane lub wyliczane – w osi normalnej: ΣF_norm = m v²/R.
Samochód na poziomej drodze: m v²/R ≤ μ_s N = μ_s m g → v_max = √(μ_s g R).
Pętla kolejki: na „dachu” N ≥ 0 → m g ≥ m v²/R → v ≤ √(g R) – poniżej tego wagonik „odpadnie”.
Pułapki: liczenie v_max z tarciem kinetycznym przy ruchu bez poślizgu; pomijanie przechyłu – na drodze nachylonej składowa N dostarcza części dośrodka. Zrób test: gdy μ_s = 0, jedyną dośrodkową na zakręcie przechylonym daje geometria – użyj rozkładu N. Działaj: podstaw R i szybko porównaj z v zadając granice – natychmiast wiesz, czy model „trzyma się drogi”.
Gaz doskonały i I zasada: ciepło i praca bez błądzenia w znakach
Pytanie decyzyjne: czy objętość zmienia się istotnie, a temperatura/ciśnienie są w centrum zadania? Wtedy ΔU = Q − W i równanie stanu to Twój szkielet.
Zamknięty układ (tłok–cylinder): ΔU = Q − W, gdzie W = ∫ p dV (praca wykonana przez układ dodatnia). Dla gazu doskonałego: U = n c_v T, H = n c_p T.
Ustal typ procesu:
Izotermiczny (T = const, gaz doskonały): ΔU = 0 → Q = W, W = n R T ln(V2/V1).
Adiabatyczny odwracalny: Q = 0, p V^γ = const, T V^{γ−1} = const, W = (p1 V1 − p2 V2)/(γ − 1).
Izobaryczny: W = p (V2 − V1), ΔH = Q.
Izohoryczny: W = 0, Q = ΔU.
Równanie stanu: p V = n R T – zamienia niewiadome w liczby.
Kontrola znaków i granic:
Sprężanie: W > 0 (układ wykonuje pracę na otoczeniu? Uważaj na przyjętą konwencję – trzymaj jedną w całym zadaniu!).
Rozprężanie adiabatyczne: T spada, więc ΔU < 0.
Pułapki: mieszanie c_p i c_v; stosowanie wzorów adiabatycznych dla procesów z wymianą ciepła; liczenie W z p stałym, gdy p wcale stałe nie jest. Działaj: nazwij proces dwoma słowami (np. „adiabatyczny, odwracalny”), a równania wybiorą się same.
Źródło: Pexels | Autor: Diana ✨
Układ otwarty w stanie ustalonym: dysze, turbiny, wymienniki
Objętość kontrolna i strumienie: wskaż wloty i wyloty, załóż przepływ ustalony → ṁ_in = ṁ_out = ṁ.
Układ otwarty: jak policzyć energię i moc bez gubienia znaków
Dysza/dyfuzor: ẇ_mech ≈ 0, q̇ ≈ 0, z stałe → h1 − h2 ≈ (V2² − V1²)/2. W dyszy rośnie prędkość, w dyfuzorze maleje.
Turbina: q̇ ≈ 0, zmiany V i z często drugorzędne → ẇ_mech/ṁ ≈ h1 − h2 (sprawdź też Δp i wilgotność przy parze).
Sprężarka/pompa: ẇ_mech/ṁ ≈ h2 − h1 + (V2² − V1²)/2 + g(z2 − z1). Dla cieczy zwykle h ≈ c_p ΔT małe, liczy się Δp/ρ.
Wymiennik ciepła (izolowany): Σṁ h_in = Σṁ h_out, brak ẇ_mech. Jeśli nieizolowany – dopisz q̇ do strony „słabszego” strumienia.
Własności medium: dla gazu doskonałego h = h(T); dla cieczy mało ściśliwych przybliżaj h ≈ c_p (T2 − T1). W przemianach fazowych użyj entalpii nasycenia (skok h to utajone ciepło).
Spadek ciśnienia w wymienniku/rurociągu: zamień Δp na równoważną stratę entalpii przez człon przepływowy (praca pompy) albo dolicz h_strat do równania energii.
Kontrola rzędu wielkości:
Czy energia kinetyczna ma znaczenie? Porównaj V²/2 z typową Δh. Jeśli V²/2 < 1% |Δh| – pomiń.
Czy różnica wysokości liczy się? g Δz porównaj z Δh; przy instalacjach poziomych zwykle zaniedbywalna.
Bilans mocy: ṁ(h + V²/2 + g z)_in + q̇ = ṁ(h + V²/2 + g z)_out + ẇ_mech.
Pułapki: praca turbiny ze złym znakiem (pomylenie ẇ_mech „oddane” vs „pobrane”), pomijanie V²/2 w dyszach, traktowanie wymiennika jak jednego strumienia (zawsze licz dwa i łącz je przez q̇). Działaj: najpierw wpisz pełne równanie, potem wykreślaj człony na mocy uzasadnień – wyjdziesz szybciej i bez wpadek.
Bilans pędu w przepływach: siła reakcji, kolanka, strugi
Zaznacz objętość kontrolną (od kolanka po kołnierze), wybierz osie i policz strumienie: ṁ_i = ρ_i A_i v_i.
Siły ciśnienia: używaj ciśnień manometrycznych. Na otwartych wylotach p_out,man ≈ 0; na wlotach od kołnierza – dodaj/odejmij p A zgodnie z normalną powierzchni.
Dodaj ciężar płynu wewnątrz CV, jeśli geometria pionowa nie jest pomijalna.
Rozwiąż wektory składowo (x, y, z); reakcję podpory wyznacz z ΣF w każdej osi osobno.
Szybki przykład: dysza pozioma do atmosfery – pojedynczy wlot, pojedynczy wylot, p_out,man = 0 → reakcja ≈ ṁ (v_out − v_in) − p_in,man A_in w osi strugi.
Kolanko 90°: moduł reakcji rzędu ṁ v (zmiana kierunku), dołóż wkład p A na wlocie/wylocie i opory jako ekwiwalentną stratę p (zamknięte w Δp → dodatkowa siła wzdłuż osi).
Ostrzeżenia: mieszanie ciśnień absolutnych z manometrycznymi, nieuwzględnienie znaku wektorów prędkości (in vs out), przyjmowanie prędkości średniej bez korekty przy silnej nierównomierności profilu (gdy dane o K-czynniku – użyj). Działaj: zacznij od szkicu z wektorami v i strzałkami p A – rachunek stanie się niemal mechaniczny.
Źródło: Pexels | Autor: cottonbro studio
Obwody elektryczne: KCL/KVL jako bilanse, które porządkują rachunek
Pytanie decyzyjne: czy szukasz napięć/prądów w stanie ustalonym lub w sinusoidzie? Jeśli tak – zastosuj bilans prądu (KCL) i spadków napięć (KVL), a na końcu zrób kontrolę mocy.
Ustal metodę i konwencję znaków:
Metoda węzłowa (KCL) – zwykle szybsza przy wielu gałęziach równoległych.
Metoda oczkowa (KVL) – bywa zwięzła przy „łańcuchu” elementów.
Polaryzacja pasywna: prąd wchodzi w zacisk oznaczony „+” elementu (ułatwia bilans mocy).
Równania elementów:
R: v = R i.
L: v = L di/dt; w AC: Z_L = j ω L.
C: i = C dv/dt; w AC: Z_C = 1/(j ω C).
Źródła zależne: dopisz równania sterujące (np. v_x = k i_y).
Zapisz bilanse:
KCL w każdym węźle (poza masą): suma prądów wypływających = 0.
KVL w każdym niezależnym oczku: suma spadków = suma źródeł.
W AC pracuj na fasorach: napięcia/prądy zespolone, impedancje zamiast L i C w czasie.
Policz wielkości wtórne i sprawdź moc:
DC: P = v i dla każdego elementu; ΣP_dostarczona + ΣP_pobrana = 0.
AC: P, Q, S; moc średnia P = Re{V I*}; sprawdź bilans na poziomie całego obwodu.
Kontrola granic:
ω → 0: C ≈ rozwarcie, L ≈ zwarcie.
ω → ∞: C ≈ zwarcie, L ≈ rozwarcie.
Źródła idealne: nigdy nie zwieraj napięciowego ani nie rozłączaj prądowego bez świadomości skutków w superpozycji.
Pułapki: mylenie kierunku spadku napięcia z kierunkiem prądu (psuje znaki mocy), pomijanie równania sterowania źródła zależnego, traktowanie impedancji jak rezystancji (gubisz część urojoną). Działaj: najpierw strzałki i znaki, potem bilans – rachunki złożą się same.
Mini-przykład: dzielnik napięcia z obciążeniem – w metodzie węzłowej zbiega się do jednego równania węzła z rezystancją zastępczą równoległą R2∥R_obc.
Zderzenia i impulsy: pęd i moment pędu zamiast śledzenia sił
Pytanie decyzyjne: krótki kontakt, duże siły, brak potrzeby znania przebiegów w czasie? Wybierz bilans pędu/impulsu i ewentualnie momentu pędu.
Wybierz oś zderzenia i układ: pojedyncze ciała czy układ sczepny? Dla kierunku działania siły kontaktu zapisz bilans pędu: ΣJ + p_przed = p_po.
Restytucja wzdłuż osi zderzenia: v_rel,po = − e v_rel,przed (0 ≤ e ≤ 1). Gdy e = 1 – sprężyste; e = 0 – doskonale niesprężyste.
Tarcie w kontakcie (impuls styczny): J_t ≤ μ J_n. Gdy warunek przekroczony – poślizg i J_t = μ J_n w kierunku przeciwnym do względnego ruchu stycznego.
Obrót: bilans momentu pędu względem punktu, przez który nie przechodzą impulsy zewnętrzne (np. punkt kontaktu z podłożem): ΣK + L_przed = L_po.
Kontrole:
Energia: dla e < 1 energia kinetyczna maleje; jeśli rośnie – błąd w znakach/założeniach.
Kontakt: N ≥ 0; gdy wyjdzie ujemne – kontakt znika, zmień model.
