1. Funkcja kwadratowa – najważniejsze pojęcia na start
1.1. Definicja funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa to funkcja postaci
f(x) = ax² + bx + c, gdzie:
a, b, c – są liczbami rzeczywistymi,
a ≠ 0 – współczynnik przy x² nie może być równy zero, bo wtedy funkcja stałaby się liniowa.
Najważniejszy jest współczynnik a, bo decyduje o kształcie i kierunku ramion wykresu (paraboli). Współczynniki b i c wpływają na położenie paraboli na układzie współrzędnych, ale nie zmieniają faktu, że wykres jest parabolą.
Funkcja kwadratowa pojawia się na maturze w zadaniach czysto rachunkowych, geometrycznych i kontekstowych (fizyka, ekonomia, optymalizacja). Znajomość jej wykresu i miejsc zerowych to absolutne minimum, bez którego trudno rozwiązać większą część arkusza.
1.2. Współczynniki a, b, c – interpretacja
Każdy z parametrów a, b, c ma swoje zadanie:
a – decyduje o tym, czy parabola jest „do góry” czy „do dołu” oraz czy jest szeroka czy wąska;
b – wpływa na położenie wierzchołka w poziomie (czyli na współrzędną x wierzchołka);
c – to wyraz wolny, czyli wartość funkcji dla x = 0, więc punkt przecięcia z osią OY.
Przykładowo:
f(x) = 2x² – parabola węższa, ramiona do góry, wierzchołek w (0, 0),
f(x) = -x² + 4 – parabola „do dołu”, szersza od f(x) = 2x², przecięcie z osią OY w punkcie (0, 4),
f(x) = x² – 4x + 3 – parabola przesunięta w prawo, przecięcie z osią OY w (0, 3).
1.3. Postacie funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa może być zapisana na kilka równoważnych sposobów. Każda postać podkreśla inne informacje i jest przydatna w innych typach zadań.
Postać
Wzór
Najwygodniejsza do
Ogólna
f(x) = ax² + bx + c
obliczania wyróżnika Δ, miejsc zerowych, rozwijania wzorów
Iloczynowa
f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)
odczytywania miejsc zerowych, szkicowania wykresu
Kanoniczna
f(x) = a(x – p)² + q
wyznaczania wierzchołka, analizowania max/min
Dla maturzysty kluczowa jest biegłość w przechodzeniu między tymi postaciami. Pozwala to szybko dopasować najwygodniejszy zapis do typu zadania: raz ważniejsze będą miejsca zerowe, innym razem wierzchołek, a czasem wyraz wolny i współczynniki.
2. Wykres funkcji kwadratowej – parabola krok po kroku
2.1. Jak kształt wykresu zależy od współczynnika a?
Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Na maturze często trzeba ją szkicować bez kalkulatora. Najpierw warto zrozumieć, jak działa współczynnik a.
Jeśli a > 0 – ramiona paraboli są skierowane do góry.
Jeśli a < 0 – ramiona paraboli są skierowane w dół.
Im |a| jest większe – tym parabola jest węższa (bardziej „stroma”).
Im |a| jest mniejsze (ale wciąż ≠ 0) – tym parabola jest szersza.
Dla porównania:
f(x) = x² – „standardowa” parabola do góry,
f(x) = 3x² – ramiona wyraźnie węższe,
f(x) = 0,5x² – ramiona szersze,
f(x) = -x² – ta sama szerokość co x², ale odwrócona do dołu.
Na maturze nie trzeba rysować idealnych wykresów. Ważne, by zachować poprawny kierunek ramion, względną szerokość w stosunku do innych parabol oraz odpowiednie położenie miejsc zerowych i wierzchołka.
2.2. Wierzchołek paraboli – jak go obliczyć?
Wierzchołek paraboli to punkt, w którym funkcja kwadratowa przyjmuje swoje minimum (jeśli a > 0) lub maksimum (jeśli a < 0). Oznacza się go zwykle jako W = (p, q).
Jeśli funkcja jest zapisana w postaci ogólnej f(x) = ax² + bx + c, współrzędne wierzchołka wyznacza się ze wzorów:
p = -b / (2a),
q = f(p) – czyli podstawienie p do wzoru funkcji.
Przykład:
Dla funkcji f(x) = 2x² – 4x + 1:
a = 2, b = -4, c = 1,
p = -(-4) / (2 · 2) = 4 / 4 = 1,
q = f(1) = 2 · 1² – 4 · 1 + 1 = 2 – 4 + 1 = -1,
czyli wierzchołek ma współrzędne W = (1, -1). Ramiona idą do góry (a > 0), więc jest to punkt najmniejszej wartości funkcji.
Jeśli funkcja ma postać kanoniczną f(x) = a(x – p)² + q, wierzchołek od razu odczytuje się jako W = (p, q). Tę postać szczególnie przydaje się stosować w zadaniach optymalizacyjnych i przy analizie przedziałów, na których funkcja rośnie lub maleje.
2.3. Przecięcie z osiami układu współrzędnych
Parabola przecina osie układu współrzędnych w punktach, które da się obliczyć bardzo szybko, często nawet „w pamięci”.
2.3.1. Przecięcie z osią OY
Punkt przecięcia z osią OY to wartość funkcji dla x = 0, czyli:
f(0) = c.
Zatem punkt przecięcia z osią OY to zawsze (0, c). To prosty sposób na szybkie zaznaczenie jednego pewnego punktu na wykresie.
Dla f(x) = 3x² – 2x + 5:
c = 5,
parabola przecina OY w punkcie (0, 5).
2.3.2. Przecięcie z osią OX – miejsca zerowe
Punkty przecięcia z osią OX (jeśli istnieją) to miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Oznaczają one rozwiązania równania:
ax² + bx + c = 0.
Jeśli funkcja ma dwa różne miejsca zerowe x₁, x₂, to parabola przecina oś OX w dwóch punktach: (x₁, 0) i (x₂, 0). Jeśli ma tylko jedno miejsce zerowe (dwukrotne), parabola jest styczna do osi OX w jednym punkcie.
Szczegóły obliczania miejsc zerowych pojawią się w kolejnych sekcjach, bo to kluczowy temat maturalny.
2.4. Jak szybko narysować wykres funkcji kwadratowej?
W zadaniu maturalnym oczekuje się poprawnego, ale nieidealnego geometrycznie szkicu. Praktyczna procedura wygląda tak:
Rozpoznaj współczynniki a, b, c lub skorzystaj z postaci kanonicznej/iloczynowej.
Ustal kierunek ramion (znak a).
Oblicz i zaznacz wierzchołek paraboli.
Oblicz miejsca zerowe (jeśli istnieją) i zaznacz punkty przecięcia z osią OX.
Odczytaj i zaznacz punkt przecięcia z osią OY, czyli (0, c).
Połącz punkty szkicem paraboli, pamiętając o symetrii względem pionowej prostej x = p (przez wierzchołek).
Jeśli dane są tylko dwa punkty i wyraz a (np. zadanie z treścią), warto wykorzystać postać ogólną lub iloczynową i dopasować do niej parametry. Często jedno równanie powstaje z tego, że wykres przechodzi przez konkretny punkt – po prostu wstawiasz do wzoru x i f(x).
Źródło: Pexels | Autor: Louis Bauer
3. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej – metody i typowe pułapki
3.1. Wyróżnik trójmianu kwadratowego (Δ)
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej to rozwiązania równania ax² + bx + c = 0. Najczęściej używaną metodą na poziomie maturalnym jest obliczenie wyróżnika (delta):
Δ = b² – 4ac.
W zależności od znaku delty mamy trzy sytuacje:
Δ > 0 – dwa różne miejsca zerowe x₁, x₂, parabola przecina oś OX w dwóch punktach,
Δ = 0 – jedno miejsce zerowe (podwójne), parabola jest styczna do osi OX,
Δ < 0 – brak miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych, parabola nie przecina osi OX.
3.2. Wzory na miejsca zerowe z delty
Jeśli Δ ≥ 0, miejsca zerowe funkcji kwadratowej oblicza się ze wzorów:
x₁ = (-b – √Δ) / (2a),
x₂ = (-b + √Δ) / (2a).
Kolejność nie ma znaczenia – można zamienić x₁ z x₂. W zadaniach otwartych ważne jest jedynie, by poprawnie obliczyć wartości.
Przykład:
Rozwiąż równanie 2x² – 3x – 2 = 0.
a = 2, b = -3, c = -2,
Δ = (-3)² – 4 · 2 · (-2) = 9 + 16 = 25,
√Δ = 5,
x₁ = (3 – 5) / (4) = -2 / 4 = -1/2,
x₂ = (3 + 5) / (4) = 8 / 4 = 2.
Równanie ma dwa miejsca zerowe: x₁ = -1/2 i x₂ = 2. Funkcja f(x) = 2x² – 3x – 2 ma więc dwa punkty przecięcia z osią OX: (-1/2, 0) i (2, 0).
3.3. Trójmian kwadratowy jako iloczyn – postać iloczynowa
Jeśli znasz miejsca zerowe, bardzo wygodnie jest zapisać funkcję kwadratową w postaci iloczynowej:
Jeśli x₁ i x₂ są miejscami zerowymi funkcji f(x), to:
f(x) = a(x – x₁)(x – x₂).
Z kolei jeśli trójmian da się rozłożyć na iloczyn dwóch nawiasów bez uciekania się do delty (np. dzięki rozkładaniu na czynniki), można wyznaczyć miejsca zerowe z prawa iloczynu: iloczyn = 0, gdy co najmniej jeden czynnik = 0.
Przykład:
Rozwiąż równanie x² – 5x + 6 = 0.
Można zauważyć, że 6 = 2 · 3, a -5 = -2 – 3,
x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3),
(x – 2)(x – 3) = 0 ⇔ x – 2 = 0 lub x – 3 = 0,
x₁ = 2, x₂ = 3.
Rozkład na czynniki jest często szybszy i mniej podatny na błędy rachunkowe niż liczenie delty, zwłaszcza gdy współczynniki są proste.
3.4. Wzory Viète’a – skrócona metoda dla Δ > 0
3.5. Zastosowanie wzorów Viète’a w praktyce
Dla trójmianu kwadratowego ax² + bx + c o dwóch różnych miejscach zerowych x₁, x₂ (czyli Δ > 0) zachodzą zależności:
x₁ + x₂ = -b / a,
x₁ · x₂ = c / a.
To są właśnie wzory Viète’a. Zastępują one liczenie delty w zadaniach, w których łatwo jest odgadnąć parę liczb spełniających te dwie zależności.
Trzeba znaleźć dwie liczby, które dodane dają 7, a pomnożone – 10. Łatwo sprawdzić, że:
2 + 5 = 7,
2 · 5 = 10,
zatem x₁ = 2, x₂ = 5. Bez liczenia delty.
Viète jest szczególnie wygodny, gdy:
współczynniki są niewielkie i całkowite,
szukane miejsca zerowe są „ładnymi” liczbami (całkowite lub proste ułamki),
zadanie jest sformułowane w stylu: „Znajdź funkcję kwadratową, której suma/pomnożenie miejsc zerowych spełnia warunek …”.
3.6. Typowe błędy przy liczeniu miejsc zerowych
Najwięcej punktów na maturze ucieka nie przez brak wiedzy, ale przez drobne pomyłki rachunkowe. Kilka z nich powtarza się wyjątkowo często.
Błąd w znaku delty – zapominanie, że c może być ujemne, lub mylenie „-4ac” z „+4ac”. Warto przepisywać wzór na Δ i podstawiać w nawiasach, np. Δ = (-3)² – 4 · 2 · (-5).
Dzielenie tylko części ułamka przez 2a – we wzorze na x₁, x₂ całość licznika musi być dzielona przez 2a, nie tylko pierwiastek. Poprawnie: (3 ± √5) / 4, a nie 3 ± √5 / 4.
Brak sprawdzenia znaku a – po obliczeniu miejsc zerowych często myli się kierunek ramion wykresu. Najpierw znak a, potem szkic.
Gubienie jednego rozwiązania – szczególnie gdy Δ = 0. Równanie nadal ma rozwiązanie, tylko jedno (podwójne), a część osób zapisuje „brak rozwiązań” albo „x = ±…”.
Mylenie miejsc zerowych z wierzchołkiem – zwłaszcza przy funkcjach zapisanych w postaci kanonicznej. Punkt W = (p, q) nie leży na osi OX, jeśli q ≠ 0.
3.7. Równania postaci a(x – p)² + q = 0
Często równanie kwadratowe pojawia się od razu w postaci kanonicznej:
a(x – p)² + q = 0.
To wygodna sytuacja, bo można od razu ocenić liczbę rozwiązań bez liczenia delty.
Jeśli a > 0 i q > 0 – lewa strona jest zawsze dodatnia, brak rozwiązań.
Jeśli a < 0 i q < 0 – lewa strona zawsze ujemna, również brak rozwiązań.
Jeśli q = 0 – mamy a(x – p)² = 0, czyli jedno rozwiązanie: x = p.
Jeśli a i q mają różne znaki – otrzymujemy dwa rozwiązania (bo (x – p)² = liczba dodatnia).
Przykład:
Rozwiąż równanie 2(x – 3)² – 8 = 0.
2(x – 3)² = 8,
(x – 3)² = 4,
x – 3 = 2 lub x – 3 = -2,
x = 5 lub x = 1.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania bez delty i bez rozwijania nawiasu.
4. Zadania kontekstowe z funkcją kwadratową
4.1. Co to są zadania „z kontekstem”?
W arkuszach maturalnych pojawiają się zadania, w których funkcja kwadratowa opisuje realną sytuację: tor ruchu, zysk firmy, pole figury, wysokość skoku. Zwykle trzeba:
ułożyć wzór funkcji na podstawie treści,
zinterpretować jej elementy (wierzchołek, miejsca zerowe),
odczytać z wykresu lub obliczyć szukaną wielkość.
4.2. Typ 1 – tor ruchu, wysokość w czasie
Klasyczny przykład: piłka podrzucona pionowo do góry. Jej wysokość h (w metrach) w zależności od czasu t (w sekundach) można opisać wzorem:
h(t) = at² + bt + c, gdzie a < 0.
Wtedy:
c – początkowa wysokość (dla t = 0),
wierzchołek paraboli – największa wysokość i czas, w którym piłka ją osiąga,
miejsca zerowe – chwile, gdy piłka jest na ziemi (h = 0).
Przykład:
Ruch opisany jest funkcją h(t) = -5t² + 20t. Oblicz maksymalną wysokość i czas, gdy ona występuje.
a = -5, b = 20, c = 0,
p = -b / (2a) = -20 / (2 · -5) = -20 / -10 = 2,
maksimum jest w chwili t = 2 s,
h(2) = -5 · 2² + 20 · 2 = -20 + 40 = 20.
Piłka osiąga maksymalną wysokość 20 metrów po 2 sekundach.
4.3. Typ 2 – zysk, koszt, przychód
W zadaniach ekonomicznych bardzo często pojawia się funkcja:
zysk Z(x) – zależny od liczby sprzedanych produktów x,
przychód P(x) = cena(x) · x,
koszt K(x).
Jeśli cena maleje liniowo wraz ze wzrostem liczby sztuk (promocja ilościowa), a koszty rosną liniowo, to zysk Z(x) bywa funkcją kwadratową z ramionami w dół.
wierzchołek – maksymalny zysk i liczba sztuk, którą należy sprzedać, aby go osiągnąć,
miejsca zerowe – wielkości produkcji, przy których zysk wynosi 0 (próg opłacalności).
Przykład skrócony:
Zysk firmy opisany jest funkcją Z(x) = -2x² + 40x – 120, gdzie x to liczba sprzedanych produktów (w setkach sztuk). Dla jakiej sprzedaży zysk jest największy?
a = -2, b = 40, c = -120,
p = -b / (2a) = -40 / (2 · -2) = -40 / -4 = 10,
wierzchołek ma pierwszą współrzędną 10, czyli 10 „setek” sztuk.
Największy zysk występuje przy sprzedaży 1000 sztuk produktu.
4.4. Typ 3 – pole prostokąta, ogrodzenie, materiały
Drugi bardzo częsty schemat to zadania o figurach geometrycznych: prostokątach, trójkątach, działkach, ogrodzeniach, siatkach. Zmienną jest najczęściej jeden z boków, a wyrażenie na pole okazuje się funkcją kwadratową.
Przykład konstrukcyjny:
Mamy kawałek drutu o długości 20 m, z którego chcemy zbudować prostokątne ogrodzenie przylegające jednym bokiem do muru (tego boku nie trzeba grodzić). Jakie wymiary prostokąta maksymalizują pole?
Jeśli:
x – długość boku prostopadłego do muru,
y – długość boku równoległego do muru,
to ogrodzenie ma długość 2x + y (dwa boki x oraz jeden bok y), więc:
2x + y = 20 ⇒ y = 20 – 2x,
pole P(x) = x · y = x(20 – 2x) = -2x² + 20x.
Dalej należy:
obliczyć wierzchołek funkcji P(x),
sprawdzić sensowny zakres x (długości dodatnie, mniejsze niż 10),
odczytać z wierzchołka maksymalne pole i odpowiadające wymiary x, y.
Takie zadania kontrolują nie tylko rachunki, ale też umiejętność przekształcania prostych związków geometrycznych na język algebry.
4.5. Typ 4 – optymalizacja: minimalny koszt, minimalna odległość
Funkcja kwadratowa pojawia się, gdy szuka się minimum lub maksimum pewnej wielkości. W praktyce może to być:
minimalny koszt produkcji przy zadanym warunku,
minimalna odległość punktu ruchomego od stałego,
minimalna suma dwóch odcinków zależnych od jednej zmiennej.
Wspólny schemat:
Wybierz zmienną x, która opisuje sytuację (np. odległość, długość boku, liczbę sztuk).
Wyraź przez x szukaną wielkość (koszt, drogę, pole) – powstaje funkcja kwadratowa.
Zapewnij poprawny zakres zmiennej (np. x > 0, x < 10).
Odczytaj minimum/maksimum z wierzchołka funkcji.
4.6. Jak czytać wykres funkcji kwadratowej w zadaniach z treścią?
W arkuszach pojawiają się również zadania, gdzie funkcja kwadratowa jest podana nie wzorem, lecz wykresem. Część informacji trzeba wtedy odczytać, zamiast liczyć.
Z wykresu można bez obliczeń:
odczytać współrzędne wierzchołka – maksimum lub minimum,
zobaczyć miejsca zerowe – punkty przecięcia z osią OX,
zobaczyć punkt przecięcia z osią OY – wyraz wolny c,
oszacować, czy a > 0, czy a < 0 (ramiona do góry czy w dół),
określić przedziały, na których funkcja rośnie lub maleje.
W zadaniach kontekstowych osie zwykle mają podpisy, np. „czas [s]”, „liczba wyprodukowanych sztuk”, „wysokość [m]”. Każdy punkt na wykresie ma wtedy konkretną interpretację, np. „po 3 sekundach (x = 3) ciało znajduje się na wysokości 5 m (f(3) = 5)”.
4.7. Przykładowe zadanie kontekstowe krok po kroku
Rozważ funkcję kwadratową f(x) = -x² + 6x – 5, która opisuje wysokość (w metrach) w zależności od czasu x (w sekundach). W jakim czasie wysokość jest największa i ile wynosi ta wysokość? Po jakim czasie obiekt znajdzie się na ziemi?
Krok 1. Wierzchołek – maksymalna wysokość.
a = -1, b = 6, c = -5,
p = -b / (2a) = -6 / (2 · -1) = 3,
q = f(3) = -(3)² + 6 · 3 – 5 = -9 + 18 – 5 = 4.
Maksymalna wysokość wynosi 4 m i występuje po 3 sekundach.
Krok 2. Obiekt na ziemi – miejsca zerowe.
Trzeba rozwiązać równanie -x² + 6x – 5 = 0. Dla wygody pomnóżmy obie strony przez -1:
x² – 6x + 5 = 0.
Δ = (-6)² – 4 · 1 · 5 = 36 – 20 = 16,
√Δ = 4,
x₁ = (6 – 4) / 2 = 1,
x₂ = (6 + 4) / 2 = 5.
Obiekt znajduje się na ziemi w chwilach x = 1 s i x = 5 s. Pierwszy raz – przy starcie, drugi raz – przy upadku.
5. Nierówności kwadratowe i przedziały znaków
5.1. Co oznacza „nierówność kwadratowa”?
Nierówność kwadratowa to wyrażenie z funkcją kwadratową po jednej stronie i zerem po drugiej, np.:
ax² + bx + c > 0,
ax² + bx + c ≤ 0,
ax² + bx + c ≥ 0,
ax² + bx + c < 0,
gdzie a ≠ 0. Rozwiązaniem nie jest jedna liczba, ale przedział (lub suma przedziałów) wszystkich x, dla których nierówność jest prawdziwa.
Zamiast liczyć „w ciemno”, można użyć wykresu funkcji kwadratowej. Znak wyrażenia ax² + bx + c to po prostu informacja, czy punkt paraboli leży:
nad osią OX – wtedy wartość funkcji jest dodatnia (> 0),
W większości zadań wystarcza stały, krótki schemat:
Przenieś wszystko na jedną stronę tak, aby po drugiej stronie było 0.
Przykład: x² – 5x ≤ 6 ⇒ x² – 5x – 6 ≤ 0.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f(x) = ax² + bx + c (delta lub wzór kanoniczny).
Ułóż „oś liczbową” i zaznacz na niej miejsca zerowe w kolejności rosnącej.
Rozstrzygnij znak funkcji w powstałych przedziałach, korzystając z:
ramion (a > 0 – „w górę”, a < 0 – „w dół”),
naprzemienności znaków między kolejnymi miejscami zerowymi.
Wybierz właściwe przedziały zgodnie z symbolem nierówności:
„> 0” lub „< 0” – bez miejsc zerowych,
„≥ 0” lub „≤ 0” – z miejscami zerowymi (nawiasy domknięte).
5.3. Przykład: nierówność z dwiema różnymi miejscami zerowymi
Rozwiąż nierówność x² – 5x – 6 ≤ 0.
Krok 1. Miejsca zerowe.
a = 1, b = -5, c = -6,
Δ = (-5)² – 4 · 1 · (-6) = 25 + 24 = 49,
√Δ = 7,
x₁ = (5 – 7) / 2 = -1,
x₂ = (5 + 7) / 2 = 6.
Funkcja przecina oś OX w punktach x = -1 i x = 6.
Krok 2. Znak funkcji.
Współczynnik a = 1 > 0, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. To oznacza:
dla x < -1 – wartości dodatnie (> 0),
dla -1 < x < 6 – wartości ujemne (< 0),
dla x > 6 – wartości dodatnie (> 0).
Krok 3. Wybór przedziału zgodnie z „≤ 0”.
Interesują nas wartości, gdzie x² – 5x – 6 ≤ 0, a więc:
„pod osią” – przedział (-1, 6),
oraz punkty, w których wartość wynosi 0 – x = -1 i x = 6.
Odpowiedź:
x ∈ ⟨-1, 6⟩.
5.4. Przykład: nierówność z ramionami w dół
Rozwiąż nierówność -2x² + 8x > 0.
Krok 1. Ewentualne uproszczenie.
Można wyciągnąć wspólny czynnik:
-2x² + 8x > 0,
-2x(x – 4) > 0.
Można dalej pracować z zapisem iloczynowym lub wrócić do postaci ogólnej. Zostaniemy przy iloczynie.
Krok 2. Miejsca zerowe czynnika.
-2x = 0 ⇒ x = 0,
x – 4 = 0 ⇒ x = 4.
Nierówność ma te same miejsca zerowe, co funkcja f(x) = -2x² + 8x.
Krok 3. Znak w przedziałach.
Na osi liczbowej zaznaczamy 0 i 4. Mamy trzy przedziały: (-∞, 0), (0, 4), (4, +∞). Sprawdzimy znak iloczynu -2x(x – 4) w każdym z nich (można jednym „testowym” punktem):
dla x = -1: -2 · (-1) · (-5) = -10 < 0,
dla x = 2: -2 · 2 · (-2) = 8 > 0,
dla x = 5: -2 · 5 · 1 = -10 < 0.
Krok 4. Zgodność z „> 0”.
Szukamy, gdzie wyrażenie jest dodatnie. Z obliczeń wynika, że:
5.5. Przypadki specjalne: brak miejsc zerowych i jedno miejsce zerowe
Nie zawsze delta jest dodatnia. W dwóch pozostałych sytuacjach zachowujemy się następująco.
5.5.1. Δ < 0 – brak miejsc zerowych
Jeśli Δ < 0, parabola nie przecina osi OX. Dla wszystkich x wartości funkcji są:
zawsze dodatnie – gdy a > 0,
zawsze ujemne – gdy a < 0.
Przykład:
Rozwiąż nierówność 2x² – 4x + 5 ≥ 0.
a = 2 > 0, b = -4, c = 5,
Δ = (-4)² – 4 · 2 · 5 = 16 – 40 = -24 < 0.
Parabola (ramiona w górę) nie przecina osi OX, więc jest cała powyżej osi. To oznacza, że:
2x² – 4x + 5 > 0 dla każdego x, a tym bardziej 2x² – 4x + 5 ≥ 0 dla każdego x ∈ ℝ.
Odpowiedź: zbiór rozwiązań to ℝ.
Gdyby w tym przykładzie nierówność była odwrotna, np. 2x² – 4x + 5 < 0, wówczas brakowałoby jakiegokolwiek x spełniającego warunek i rozwiązaniem byłby zbiór pusty.
5.5.2. Δ = 0 – jedno miejsce zerowe
Jeśli Δ = 0, parabola jest styczna do osi OX w jednym punkcie x₀. Wtedy:
dla a > 0: funkcja nigdy nie spada poniżej zera,
dla a < 0: funkcja nigdy nie wznosi się powyżej zera.
Załóżmy, że Δ = 0 i a > 0. Wówczas:
ax² + bx + c ≥ 0 – dla każdego x (cała parabola nad lub na osi),
ax² + bx + c > 0 – dla wszystkich x oprócz punktu styczności x₀,
ax² + bx + c ≤ 0 – tylko w punkcie x₀ (bo nigdzie nie ma wartości ujemnych).
Przykład:
Rozwiąż nierówność x² – 4x + 4 ≤ 0.
a = 1, b = -4, c = 4,
Δ = (-4)² – 4 · 1 · 4 = 16 – 16 = 0,
x₀ = 4 / 2 = 2.
Wykres (ramiona w górę) dotyka osi OX tylko w punkcie x = 2 i nigdzie jej nie przecina. Funkcja jest:
dodatnia dla wszystkich x ≠ 2,
równa 0 dla x = 2.
Nierówność „≤ 0” spełniona jest dokładnie w jednym punkcie:
x = 2.
5.6. Metoda „tabelki znaków” dla nierówności kwadratowych
W wielu rozwiązaniach przydaje się krótka tabelka znaków. Działa dobrze także wtedy, gdy mamy iloczyn kilku czynników (np. przy rozwiązywaniu równań typu kwadrat razy liniowa).
Przykład:
Rozwiąż nierówność (x – 1)(x + 2) ≥ 0.
Krok 1. Miejsca zerowe czynników.
x – 1 = 0 ⇒ x = 1,
x + 2 = 0 ⇒ x = -2.
Krok 2. Porządek na osi: -2, 1. Tworzą się trzy przedziały: (-∞, -2), (-2, 1), (1, +∞).
Krok 3. Znak każdego czynnika:
x
x – 1
x + 2
(x – 1)(x + 2)
x < -2
–
–
+
-2 < x < 1
–
+
–
x > 1
+
+
+
Krok 4. Zgodność z „≥ 0”.
Szukamy, gdzie iloczyn jest dodatni lub równy 0. Dodatni jest:
dla x < -2,
dla x > 1.
W punktach x = -2 i x = 1 iloczyn jest równy 0 (jeden z czynników równy 0). Musimy je uwzględnić, bo nierówność ma znak „≥”.
Odpowiedź:
x ∈ (-∞, -2] ∪ [1, +∞).
5.7. Przedziały, na których funkcja kwadratowa przyjmuje wartości dodatnie i ujemne
W zadaniach pojawia się często opisowy zapis typu:
„podaj przedziały, na których f(x) > 0” – gdzie wykres jest nad osią OX,
„wyznacz x, dla których f(x) ≤ 0” – gdzie wykres leży na lub pod osią OX.
Jeśli znamy miejsca zerowe x₁ < x₂ funkcji z ramionami w górę (a > 0), to:
f(x) > 0 dla x ∈ (-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞),
f(x) < 0 dla x ∈ (x₁, x₂),
f(x) ≥ 0 dla x ∈ (-∞, x₁] ∪ [x₂, +∞),
f(x) ≤ 0 dla x ∈ [x₁, x₂].
Dla ramion w dół (a < 0) znaki zamieniają się: dodatnie wartości są między miejscami zerowymi, a ujemne – poza nimi.
Przykład skrócony:
Dla funkcji f(x) = x² – 4:
miejsca zerowe: x = -2, x = 2,
a = 1 > 0 – ramiona w górę.
Z wykresu i z faktu, że f(x) = (x – 2)(x + 2), otrzymujemy:
f(x) < 0 dla x ∈ (-2, 2),
f(x) ≥ 0 dla x ∈ (-∞, -2] ∪ [2, +∞).
5.8. Nierówności kwadratowe w zadaniach tekstowych
W wielu zadaniach z treścią zamiast równania pojawia się nierówność. Typowe zwroty:
„zysk ma być co najmniej…” – zapis: Z(x) ≥ zadana liczba,
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Jak obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej na maturze?
Aby obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c, najczęściej korzysta się z wyróżnika (delty): Δ = b² – 4ac. Gdy Δ ≥ 0, miejsca zerowe wyznaczamy ze wzorów: x₁ = (-b – √Δ) / (2a), x₂ = (-b + √Δ) / (2a). Pamiętaj, że a ≠ 0.
Interpretacja delty jest kluczowa na maturze:
Δ > 0 – dwa różne miejsca zerowe, wykres przecina oś OX w dwóch punktach,
Δ = 0 – jedno miejsce zerowe (podwójne), parabola jest styczna do osi OX,
Δ < 0 – brak miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych, parabola nie przecina osi OX.
Jak szybko narysować wykres funkcji kwadratowej na egzaminie?
Najprostszy schemat szkicowania wykresu funkcji kwadratowej to:
odczytaj współczynniki a, b, c i ustal kierunek ramion (znak a),
oblicz wierzchołek paraboli – p = -b/(2a), q = f(p),
znajdź miejsca zerowe (jeśli istnieją),
zaznacz punkt przecięcia z osią OY: (0, c),
narysuj parabolę symetrycznie względem prostej x = p.
Na maturze liczy się poprawny szkic (kierunek ramion, położenie wierzchołka i miejsc zerowych), a nie idealna dokładność graficzna.
Czym różni się postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej?
Te trzy postacie opisują tę samą funkcję, ale są wygodne w innych typach zadań:
Ogólna: f(x) = ax² + bx + c – dobra do liczenia delty i miejsc zerowych,
Kanoniczna: f(x) = a(x – p)² + q – od razu widać wierzchołek W = (p, q) oraz minimum/maksimum,
Iloczynowa: f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) – idealna do odczytywania miejsc zerowych i szkicowania wykresu.
Na maturze ważna jest umiejętność szybkiego przechodzenia między tymi postaciami w zależności od tego, czy potrzebujesz miejsc zerowych, wierzchołka czy przecięcia z osią OY.
Jak obliczyć wierzchołek paraboli i po co jest on potrzebny?
Dla funkcji w postaci ogólnej f(x) = ax² + bx + c współrzędne wierzchołka liczymy tak:
p = -b / (2a),
q = f(p) – podstawiamy p do wzoru funkcji.
Wynik W = (p, q) to wierzchołek paraboli.
Wierzchołek jest punktem minimum funkcji (gdy a > 0) lub maksimum (gdy a < 0). W zadaniach kontekstowych (optymalizacja, fizyka, ekonomia) często właśnie wartość w wierzchołku odpowiada „największemu zyskowi”, „najmniejszej odległości” itp.
Jak rozpoznać z wykresu, ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa?
Z wykresu funkcji kwadratowej odczytujemy liczbę miejsc zerowych po sposobie przecięcia osi OX:
dwa punkty przecięcia z osią OX – dwa różne miejsca zerowe,
jeden punkt, w którym parabola dotyka osi OX – jedno miejsce zerowe (podwójne),
brak punktów przecięcia z osią OX – brak miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ta obserwacja odpowiada trzem możliwym znakom delty (Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0) i jest częstym motywem w zadaniach maturalnych łączących algebrę z geometrią analityczną.
Jak odczytać przecięcia z osiami OX i OY z wzoru funkcji kwadratowej?
Przecięcie z osią OY jest zawsze najprostsze: wystarczy policzyć f(0). Dla f(x) = ax² + bx + c mamy f(0) = c, więc punkt przecięcia z osią OY to (0, c).
Przecięcia z osią OX to miejsca zerowe funkcji, czyli rozwiązania równania ax² + bx + c = 0. Można je wyznaczyć za pomocą delty lub – jeśli mamy postać iloczynową f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) – odczytać od razu jako x₁ i x₂.
Do czego służy funkcja kwadratowa w zadaniach kontekstowych na maturze?
Funkcja kwadratowa pojawia się w zadaniach z treścią tam, gdzie mamy zależność „kwadratową”: ruch jednostajnie przyspieszony, zależność pola od wymiarów, zysk w zależności od liczby sprzedanych produktów itp. Zwykle sprowadza się to do ułożenia modelu f(x) = ax² + bx + c, a potem znalezienia jego minimum lub maksimum.
W praktyce trzeba:
z treści ułożyć wzór funkcji,
wyznaczyć wierzchołek (postacią kanoniczną lub wzorami p, q),
zinterpretować wynik (np. przy jakiej długości boków pole jest największe, przy jakiej liczbie produktów zysk jest maksymalny).
To typowy schemat zadań optymalizacyjnych na poziomie podstawowym i rozszerzonym.
Co warto zapamiętać
Funkcja kwadratowa ma postać f(x) = ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0, a jej wykresem jest zawsze parabola – współczynnik a decyduje o kierunku i „szerokości” ramion, a b i c o położeniu paraboli w układzie współrzędnych.
Współczynnik a określa, czy parabola jest „do góry” (a > 0, minimum funkcji) czy „do dołu” (a < 0, maksimum funkcji) oraz jak bardzo jest wąska lub szeroka w porównaniu z „standardową” parabolą y = x².
Postać ogólna, iloczynowa i kanoniczna funkcji kwadratowej są równoważne, ale każda z nich jest najwygodniejsza w innych zadaniach: odpowiednio do obliczania miejsc zerowych, odczytywania ich z wykresu oraz wyznaczania wierzchołka i analizy maksimum/minimum.
Wierzchołek paraboli w postaci ogólnej f(x) = ax² + bx + c ma współrzędne W = (p, q), gdzie p = -b / (2a), a q = f(p); w postaci kanonicznej f(x) = a(x – p)² + q wierzchołek to od razu punkt (p, q).
Punkt przecięcia z osią OY jest zawsze łatwy do odczytania: ma współrzędne (0, c), ponieważ f(0) = c, czyli wyraz wolny jest wartością funkcji dla x = 0.
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej są rozwiązaniami równania ax² + bx + c = 0; odpowiadają punktom przecięcia paraboli z osią OX i mogą być dwa różne, jedno podwójne (styczność do osi) lub może ich nie być wcale.
