Jak wybierać zadania do powtórki z matury podstawowej
Matura podstawowa z matematyki nie wymaga znajomości całej wyższej matematyki, ale wymaga świetnego opanowania podstaw. Zamiast przerabiać setki losowych zadań, lepiej skupić się na kilkudziesięciu kluczowych typach zadań, które pojawiają się w arkuszach rok w rok. Opanowanie ich na 100% daje bardzo duże szanse na spokojne przekroczenie 70–80% punktów.
Poniżej opisanych jest 20 typów zadań z matury podstawowej, które pojawiają się najczęściej i które można przećwiczyć tak, aby stały się automatyczne. Przy każdym typie zadań pojawiają się konkretne wzorce, schematy i pułapki, na które szczególnie zwracają uwagę egzaminatorzy.
1. Proste równania liniowe – fundament, który musi być bezbłędny
1.1. Klasyczne równania z jedną niewiadomą
Równania liniowe typu ax + b = c wydają się banalne, ale na maturze podstawowej występują w bardzo różnych przebraniu. Najczęściej pojawiają się jako:
ostatni krok w dłuższym zadaniu,
równania z ułamkami,
równania z nawiasami i liczbami ujemnymi.
Przykład typowego równania:
3x - 5 = 16
Schemat rozwiązania:
Przenosimy liczby na jedną stronę, niewiadome na drugą: 3x = 16 + 5.
Obliczamy: 3x = 21.
Dzielimy przez współczynnik przy x: x = 7.
Warto mechanicznie przećwiczyć takie równania, aż do poziomu „w ciemno”, bo pojawiają się w prawie każdym arkuszu, często jako część większego problemu.
1.2. Równania z ułamkami i nawiasami
Dużo więcej błędów pojawia się przy równaniach z ułamkami:
(x - 2)/3 + 1/2 = x/6
Najwygodniejsza metoda to mnożenie obu stron równania przez wspólny mianownik. W tym przykładzie wspólnym mianownikiem jest 6:
zapominanie o przemnożeniu każdego składnika przez wspólny mianownik,
błędy w znakach przy przenoszeniu na drugą stronę,
gubienie nawiasów przy mnożeniu.
1.3. Równania prowadzące do warunków (dzielenie przez wyrażenie z x)
Część zadań na maturze wymaga rozwiązania równania, w którym pojawia się dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą. Typowe równanie:
(x + 3)/(x - 1) = 2
Tutaj trzeba nie tylko rozwiązać równanie, ale także pamiętać o dziedzinie: mianownik nie może być równy zero, więc x ≠ 1.
Rozwiązanie:
Mnożymy obustronnie przez x - 1 (z zastrzeżeniem, że x ≠ 1): x + 3 = 2(x - 1).
Rozwijamy: x + 3 = 2x - 2.
Przenosimy: 3 + 2 = 2x - x, czyli 5 = x.
Sprawdzamy z dziedziną: x = 5 jest dopuszczalne.
Na maturze podstawowej zdarza się, że poprawnie rozwiązane równanie zostaje na końcu „zabite” jednym błędem: uczeń nie sprawdza, czy rozwiązanie nie powoduje dzielenia przez zero. Ten odruch jest bardzo ważny.
2. Układy równań – liczby, które trzeba umieć wydobyć
2.1. Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Układy równań pojawiają się regularnie, często w zadaniach tekstowych. Typowy przykład:
x + y = 10
2x - y = 1
Najpopularniejsze metody to podstawianie i dodawanie równań. Warto umieć obie.
11/3 + y = 10 ⇒ y = 10 - 11/3 = 30/3 - 11/3 = 19/3.
Na maturze podstawowej układy są zazwyczaj „ładniejsze” (często wychodzą liczby całkowite), ale dobrze ćwiczyć także ułamki, aby nie zaskoczyły.
2.2. Układ równań w zadaniach tekstowych (wiek, liczby, bilety)
Najbardziej klasyczne zadania z układami równań to:
zadania o wieku,
zadania o cenach biletów,
zadania o liczbie przedmiotów (np. liczba jabłek i gruszek).
Przykład:
W pewnej klasie jest razem 26 uczniów. Chłopców jest o 6 więcej niż dziewcząt. Ilu jest chłopców, a ile dziewcząt?
Oznaczenia:
x – liczba dziewcząt,
y – liczba chłopców.
Tworzymy układ:
x + y = 26
y = x + 6
Podstawiamy y z drugiego równania do pierwszego:
x + (x + 6) = 26 ⇒ 2x + 6 = 26 ⇒ 2x = 20 ⇒ x = 10. Stąd y = 16.
Kluczowy na maturze jest tu dobry wybór oznaczeń – jeżeli oznaczysz sensownie, układ „składa się sam”.
2.3. Proste układy nieliniowe (rzadziej, ale bywają)
Czasem (rzadziej, ale warto być przygotowanym) pojawiają się układy typu:
x + y = 7
xy = 10
Na poziomie podstawowym najczęściej da się je rozwiązać przez zauważenie, że chodzi o dwie liczby o danej sumie i iloczynie. W tym przykładzie wystarczy poszukać dwóch liczb, które:
dodane dają 7,
pomnożone dają 10.
Taką parą jest 2 i 5. Można więc zapisać: x = 2, y = 5 albo odwrotnie.
3. Proste funkcje liniowe – wykresy, wzory, interpretacja
3.1. Wzór funkcji liniowej i współczynniki
Funkcja liniowa ma postać f(x) = ax + b, gdzie:
a – współczynnik kierunkowy (informuje o „nachyleniu” prostej),
b – wyraz wolny (miejsce przecięcia wykresu z osią OY).
Na maturze podstawowej często trzeba:
odczytać a i b z wykresu,
wyznaczyć wzór funkcji na podstawie dwóch punktów,
Potem podstawiamy do ogólnego wzoru funkcji liniowej:
y = 2x + b.
Podstawiamy współrzędne jednego z punktów, np. punktu A: 3 = 2*1 + b ⇒ 3 = 2 + b ⇒ b = 1. Ostatecznie: f(x) = 2x + 1.
3.2. Odczytywanie informacji z wykresu
Często na maturze pojawia się wykres funkcji liniowej i pytania:
dla jakich x funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne,
czy funkcja jest rosnąca czy malejąca,
znajdź wartość funkcji dla danego x lub argument, dla którego funkcja przyjmuje daną wartość.
Najłatwiej wykonywać takie zadania „po obrazku”:
miejsce, gdzie wykres przecina oś OX – to miejsce zerowe funkcji,
gdzie wykres przebiega powyżej osi OX – tam f(x) > 0,
gdzie wykres jest poniżej osi – tam f(x) < 0.
Jeśli funkcja jest rosnąca, to współczynnik a > 0. Jeśli malejąca – a < 0. To jedno z najłatwiejszych pytań w arkuszu, a bywa „oddawane za darmo”.
3.3. Nierówności liniowe – jedna kreska, a łatwe punkty
Nierówności typu 2x - 5 > 3 rozwiązujemy analogicznie jak równania:
2x - 5 > 3 ⇒ 2x > 8 ⇒ x > 4.
Trzeba uważać tylko na mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną – wtedy znak nierówności się odwraca. Przykład:
-3x < 9 ⇒ dzielimy przez -3: x > -3.
Na maturze często trzeba przedstawić rozwiązanie na osi liczbowej lub w zapisie przedziałowym, np. x ∈ (4; +∞). Dobrze mieć w tym wprawę, bo takie zadania bywają jednymi z najprostszych w arkuszu.
4. Procenty, VAT, rabaty – zadania „z życia”
4.1. Procent jako ułamek i liczba dziesiętna
Bez swobodnego przechodzenia między procentami a ułamkami i liczbami dziesiętnymi trudno zdobyć komplet punktów w zadaniach użytkowych. Kluczowe zamiany:
10% = 0,1 = 1/10,
25% = 0,25 = 1/4,
50% = 0,5 = 1/2,
75% = 0,75 = 3/4.
Procent całkowity to zawsze „na 100”, więc p% to po prostu p/100.
4.2. Obliczanie procentu danej liczby i liczby na podstawie procentu
Dwa podstawowe typy zadań:
Oblicz p% z liczby a.
Przykład: 20% z 150 ⇒ 0,2 * 150 = 30.
Liczba b stanowi p% liczby a. Oblicz a.
Przykład: 45 to 15% pewnej liczby. 0,15 * x = 45 ⇒ x = 45 / 0,15 = 300.
W zadaniach maturalnych często pojawiają się rabaty i podwyżki. Dobrze zapamiętać schemat:
po obniżce o p%: nowa cena = stara cena * (1 - p/100),
po podwyżce o p%: nowa cena = stara cena * (1 + p/100).
Zdanie „cena wzrosła o 20%” NIE oznacza, że teraz wynosi 20% wartości początkowej, tylko że do początkowej wartości dodano 20% tej wartości.
4.3. Zmiany następujące po sobie – rabat, potem podwyżka
Na arkuszu często pojawia się sytuacja: najpierw cena spada o pewien procent, potem rośnie (lub odwrotnie). Trzeba wtedy krok po kroku śledzić kolejne etapy, a nie „łączyć” procentów w jeden.
Przykład:
Cena telefonu wynosiła 2000 zł. Obniżono ją o 15%, a potem nową cenę podwyższono o 10%. Jaka jest ostateczna cena?
Obniżka o 15%:
nowa cena = 2000 * (1 - 0,15) = 2000 * 0,85 = 1700 zł.
Podwyżka o 10% od nowej ceny:
cena końcowa = 1700 * (1 + 0,10) = 1700 * 1,1 = 1870 zł.
Podwyżka o 10% nie „kasuje” obniżki o 15%. Łączny efekt to nie jest 5% obniżki, tylko konkretny rachunek na liczbach.
4.4. Procenty składowe – część całości
Czasami trzeba obliczyć, jaki procent całości stanowi dana część. Wtedy używa się prostego wzoru:
procent = (część / całość) * 100%
Przykład:
W szkole jest 480 uczniów, z czego 120 chodzi na kółko matematyczne. Jaki to procent wszystkich uczniów?
(120 / 480) * 100% = (1/4) * 100% = 25%
To podejście pojawia się także w zadaniach z wykresami kołowymi i słupkowymi – wystarczy ustalić, co jest „częścią”, a co „całością”.
5. Potęgi i pierwiastki – bezpieczna obsługa działań
5.1. Podstawowe własności potęg
Kilka reguł przewija się w różnych zadaniach, od prostych obliczeń po przekształcanie wyrażeń:
a^m * a^n = a^(m + n)
a^m : a^n = a^(m - n) (dla a ≠ 0)
(a^m)^n = a^(m * n)
a^0 = 1 (dla a ≠ 0)
a^(-n) = 1 / a^n
Przykład:
2^3 * 2^5 = 2^(3 + 5) = 2^8.
5^4 : 5^2 = 5^(4 - 2) = 5^2 = 25.
5.2. Potęgi liczb ujemnych – znak ma znaczenie
Częsty błąd dotyczy nawiasów. Dwie formy wyglądają podobnie, ale dają różne wyniki:
(-2)^4 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = 16
-2^4 = -(2^4) = -16
Jeżeli minus jest w nawiasie, potęgujemy razem z nim. Jeżeli jest przed potęgą, to działa jak „minus z przodu” – dopiero potem podnosimy dodatnią liczbę do potęgi.
5.3. Pierwiastki kwadratowe – uproszczenia i działania
Podstawowe fakty:
√(a * b) = √a * √b dla a, b ≥ 0,
√(a^2) = |a| – wynik pierwiastkowania jest nieujemny,
√(x^2) ≠ x „z definicji”, tylko √(x^2) = |x|.
Przykład uproszczenia:
√50 = √(25 * 2) = √25 * √2 = 5√2.
W zadaniach mnożymy i dzielimy pierwiastki głównie „pod jednym znakiem” lub rozbijając na czynniki:
√3 * √12 = √(3 * 12) = √36 = 6.
5.4. Równania z pierwiastkiem
Na maturze pojawiają się proste równania typu:
√(x + 1) = 5
Podnosimy obie strony do kwadratu: x + 1 = 25.
Stąd x = 24.
Kontrola: √(24 + 1) = √25 = 5 – zgadza się.
Przy bardziej złożonych równaniach, po podniesieniu do kwadratu mogą powstać rozwiązania sprzeczne. Dlatego końcowe podstawienie do równania wyjściowego jest obowiązkowe.
Źródło: Pexels | Autor: Katerina Holmes
6. Geometria płaska – pola, obwody, kąty
6.1. Podstawowe wzory na pola i obwody
Te wzory muszą „wchodzić z automatu”, bo zadania geometryczne rzadko wybaczają szukanie ich w tablicach pod presją czasu. Najczęściej używane:
prostokąt:
P = a * b, Ob = 2a + 2b
kwadrat:
P = a^2, Ob = 4a
trójkąt:
P = (a * h_a) / 2
równoległobok:
P = a * h_a
trapez:
P = ((a + b) * h) / 2
koło:
P = πr^2, Ob = 2πr
Przykład: prostokąt ma boki długości 5 cm i 8 cm. Pole: P = 5 * 8 = 40 cm^2, obwód: Ob = 2*5 + 2*8 = 10 + 16 = 26 cm.
6.2. Trójkąt prostokątny i twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa to podstawa wielu zadań:
a^2 + b^2 = c^2 (gdzie c to przeciwprostokątna).
Przykład:
Trójkąt ma przyprostokątne długości 6 cm i 8 cm. Przeciwprostokątna:
c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 ⇒ c = 10 cm.
Wiele zadań daje się uprościć dzięki znajomości kilku „klasycznych” trójek pitagorejskich, np. (3, 4, 5), (5, 12, 13), ich wielokrotności: (6, 8, 10), (9, 12, 15).
6.3. Kąty w trójkącie i wielokątach
Podstawowe fakty o kątach w trójkącie:
suma kątów wewnętrznych w trójkącie: 180°,
w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe,
w trójkącie równobocznym każdy kąt ma 60°.
Wielokąty foremne:
kąt wewnętrzny w n-kącie foremnym: α = ((n - 2) * 180°) / n,
Typowe zadanie: w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma 30°, drugi ma wtedy 60°. Przy okazji warto znać proporcje boków w takim trójkącie (1 : √3 : 2).
6.4. Figury podobne – skala i przeliczenia
W zadaniach z planami miast, mapami i rysunkami technicznymi pojawia się podobieństwo figur.
stosunek boków – skala: k,
stosunek pól – k^2,
stosunek objętości (w bryłach) – k^3.
Przykład:
Jeśli bok kwadratu jest dwa razy większy (skala 2:1), to jego pole jest cztery razy większe, bo 2^2 = 4.
Na maturze często skala jest zapisana jako ułamek, np. 1 : 50 000. Oznacza to, że 1 cm na mapie odpowiada 50 000 cm w rzeczywistości, czyli 500 m.
7. Bryły – objętość, pole całkowite i przekroje
7.1. Graniastosłupy – prostopadłościan i nie tylko
Najczęściej pojawiają się graniastosłupy proste, w tym prostopadłościan jako najprostszy przypadek.
graniastosłup prosty:
V = P_p * H (pole podstawy razy wysokość),
P_c = Ob_p * H (pole boczne),
P_całk = 2P_p + P_c.
Przykład – prostopadłościan o wymiarach 3 cm, 4 cm, 5 cm:
Trzeba odróżnić wysokość ostrosłupa H od wysokości ściany bocznej. Te wielkości często tworzą trójkąty prostokątne, w których można zastosować twierdzenie Pitagorasa.
7.3. Graniastosłup i przekątna przestrzenna
W prostopadłościanie pojawia się pojęcie przekątnej bryły. Jeśli krawędzie mają długości a, b, c, to przekątna d spełnia:
d^2 = a^2 + b^2 + c^2
To wynik dwukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa – najpierw w podstawie, potem w trójkącie utworzonym z przekątnej podstawy i wysokości.
7.4. Walec, stożek i kula
Te bryły pojawiają się głównie w zadaniach użytkowych (puszki, zbiorniki, słoiki).
walec:
V = πr^2H,
P_całk = 2πr^2 + 2πrH.
stożek:
V = (1/3)πr^2H,
P_całk = πr^2 + πrl (gdzie l – tworząca).
kula:
V = (4/3)πr^3,
P = 4πr^2.
W zadaniach często zmienia się jeden wymiar (np. wysokość walca) i trzeba określić, jak zmieni się objętość. Wtedy wygodniej patrzeć na wzór zamiast przeliczać wszystko od zera.
8. Trygonometria w trójkącie prostokątnym
8.1. Definicje funkcji trygonometrycznych
Na poziomie podstawowym funkcje trygonometryczne definiuje się w trójkącie prostokątnym:
sin α = przeciwległa / przeciwprostokątna,
cos α = przyległa / przeciwprostokątna,
tan α = przeciwległa / przyległa.
Oznaczenia „przeciwległa” i „przyległa” odnoszą się zawsze do danego kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym.
8.2. Klasyczne wartości kątów: 30°, 45°, 60°
W tablicach maturalnych te wartości są, ale znajomość „z głowy” przyspiesza liczenie i zmniejsza ryzyko pomyłek.
8.3. Jak rozwiązywać zadania trygonometryczne krok po kroku
W zdecydowanej większości zadań z trygonometrii chodzi o odnalezienie brakującego boku lub kąta w trójkącie prostokątnym. Praktyczny schemat:
Oznacz kąt ostry, którego dotyczy zadanie (np. α).
Podpisz boki względem α: przeciwległy, przyległy, przeciwprostokątna.
Zobacz, które boki znasz, a który jest szukany.
Dobierz funkcję:
masz przeciwległą i przeciwprostokątną → użyj sinusa,
masz przyległą i przeciwprostokątną → użyj cosinusa,
masz przeciwległą i przyległą → użyj tangensa.
Ułóż równanie i przekształć je jak zwykłe proporcje.
Przykład: w trójkącie prostokątnym α = 30°, przeciwprostokątna ma długość 10 cm. Szukamy przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α.
Mamy: sin 30° = przeciwległa / przeciwprostokątna, czyli 1/2 = x / 10. Stąd x = 10 * (1/2) = 5 cm.
8.4. Wysokości i odległości – typowy schemat maturalny
Przykładowe polecenia dotyczą masztów, drzew, budynków czy długości cienia. Sprowadza się to do jednego z dwóch modeli:
znasz kąt i jeden bok → liczysz drugi bok,
znasz dwa boki → wyliczasz kąt (z tablic z funkcjami odwrotnymi).
Jeśli np. masz drzewo, które rzuca cień długości 8 m, a kąt padania promieni słonecznych to 30°, wysokość drzewa jest przyprostokątną przeciwległą względem tego kąta. Używasz więc tangensa: tan 30° = przeciwległa / przyległa = h / 8, podstawiasz z tablic tan 30° i liczysz h.
9. Równania i nierówności – podstawa większości zadań
9.1. Równania liniowe z jedną niewiadomą
To absolutny „must-have” – podobne przekształcenia pojawiają się później w prawie każdym dziale. Ogólny schemat:
Otwórz nawiasy, uprość wyrażenia po obu stronach.
Przenieś wyrazy z x na jedną stronę, liczby na drugą.
Podziel obie strony przez współczynnik przy x.
Przykład: 3(2x - 1) = 5x + 4
6x - 3 = 5x + 4
6x - 5x = 4 + 3
x = 7.
Kontrola polega na podstawieniu: sprawdzasz, czy lewa i prawa strona równania są równe po wstawieniu x = 7.
9.2. Proste równania z ułamkami
Żeby ułatwić sobie życie, zwykle pozbywamy się ułamków jednym ruchem:
Znajdź wspólny mianownik.
Pomnóż obie strony równania przez ten mianownik.
Rozwiąż powstałe równanie bez ułamków.
Przykład: x/3 + 1/2 = 5/6
Wspólny mianownik to 6.
Mnożymy obie strony przez 6: 6 * (x/3) + 6 * (1/2) = 6 * (5/6), czyli 2x + 3 = 5.
2x = 2 ⇒ x = 1.
9.3. Równania z wartością bezwzględną (podstawowe)
Na poziomie podstawowym pojawiają się jeszcze stosunkowo proste przykłady, np. |x - 3| = 5. Schemat:
Rozpisujesz dwa przypadki:
x - 3 = 5,
x - 3 = -5.
Rozwiązujesz każdy osobno: x = 8 lub x = -2.
Można myśleć geometrycznie: |x - 3| = 5 to wszystkie punkty na osi liczbowej, które leżą w odległości 5 od liczby 3. Tymi punktami są 8 i -2.
9.4. Nierówności liniowe
Nierówności liniowe (z <, >, ≤, ≥) rozwiązuje się praktycznie tak samo jak równania, z jednym dodatkiem:
jeśli mnożysz lub dzielisz obie strony przez liczbę ujemną, zmieniasz znak nierówności na przeciwny.
Przykład: -2x + 4 > 10
-2x > 6
dzielimy przez -2 i odwracamy znak: x < -3.
Rozwiązaniem jest cały przedział liczb mniejszych od -3. Na osi liczbowej zaznacza się to jako kółko otwarte przy -3 i strzałkę w lewo.
9.5. Proste równania kwadratowe w praktyce
Na maturze podstawowej pojawiają się zwykle bardzo proste równania kwadratowe, często „ukryte” w zadaniach tekstowych lub geometrycznych, np. przy polu prostokąta:
postać ogólna: ax^2 + bx + c = 0,
delta: Δ = b^2 - 4ac,
pierwiastki: x₁,₂ = (-b ± √Δ) / (2a).
W części zadań współczynniki są tak wygodne, że można stosować wyłączanie wspólnego czynnika lub wzory skróconego mnożenia zamiast delty, co oszczędza czas.
Przykład: x^2 - 9 = 0 → traktujemy jako x^2 - 3^2 = 0, czyli (x - 3)(x + 3) = 0. Rozwiązania: x = 3 lub x = -3.
10. Funkcje – wykres, własności, odczytywanie informacji
a – współczynnik kierunkowy (informuje o „nachyleniu” prostej),
b – wyraz wolny (punkt przecięcia z osią Oy).
Jeżeli a > 0, funkcja jest rosnąca, jeżeli a < 0 – malejąca, a gdy a = 0 – stała (pozioma prosta).
W zadaniach maturalnych często pojawia się odczytywanie z wykresu:
wartości funkcji dla danego x,
argumentów, dla których funkcja przyjmuje daną wartość (np. f(x) = 0 – miejsca zerowe),
przedziałów, w których funkcja rośnie/maleje lub jest dodatnia/ujemna.
10.2. Jak szybko narysować prostą
Zamiast robić tabelkę z wieloma punktami, łatwiej znaleźć dwa punkty i połączyć je prostą. Prostą strategią jest:
Podstaw x = 0 → otrzymasz y = b (punkt przecięcia z osią Oy).
Podstaw inną prostą wartość, np. x = 1 albo x = -1, policz y.
Nanieś dwa punkty na układ współrzędnych i połącz je linią.
Przykład: y = 2x - 3
x = 0 → y = -3 (punkt (0, -3)),
x = 2 → y = 2*2 - 3 = 1 (punkt (2, 1)).
10.3. Funkcja kwadratowa – najważniejsze informacje
W funkcji kwadratowej y = ax^2 + bx + c interesują cię głównie trzy elementy:
kierunek ramion (w górę dla a > 0, w dół dla a < 0),
miejsca zerowe (rozwiązania równania ax^2 + bx + c = 0),
wierzchołek paraboli (minimum lub maksimum).
Wierzchołek ma współrzędne:
x_w = -b / (2a),
y_w – obliczasz, podstawiając x_w do wzoru funkcji.
Jeśli parabola „otwiera się do góry” (a > 0), wierzchołek jest najmniejszą wartością funkcji. Dla „ramion w dół” wierzchołek jest największą wartością funkcji.
10.4. Odczytywanie z wykresów bez liczenia
Na maturze często wykres jest narysowany i wystarczy go uważnie obejrzeć. Możesz odczytać m.in.:
dla jakich x funkcja jest dodatnia (punkty nad osią Ox),
przedziały, na których rośnie – wtedy wykres idzie „w górę”, gdy przesuwasz się w prawo,
minimum/maksimum – punkt najniższy lub najwyższy na fragmencie wykresu.
W przypadku funkcji liniowej czy kwadratowej, jeśli pojawia się pytanie „nie licząc, określ…”, w większości przypadków wystarczy spojrzeć na rysunek i wykorzystać intuicję geometryczną.
11. Proporcje, procenty i zadania tekstowe
11.1. Proporcje i równania proporcjonalności
Proporcja ma postać a / b = c / d. Podstawowa własność:
a * d = b * c
Jeżeli brakuje jednej liczby, można spokojnie ułożyć równanie z krzyżowego mnożenia i rozwiązać je jak zwykłe równanie liniowe.
Przykład: x / 5 = 6 / 10 → 10x = 30 → x = 3.
11.2. Procenty – najczęstsze schematy
Najlepiej od razu zamieniać procent na ułamek dziesiętny lub zwykły:
20% → 0,2 → 1/5,
12,5% → 0,125 → 1/8,
25% → 0,25 → 1/4,
50% → 0,5 → 1/2.
Typowe zadania:
oblicz p% danej liczby – mnożysz: p% * liczba,
oblicz liczbę, gdy znasz jej p% – dzielisz przez p% zapisane jako ułamek.
W zadaniach o cenach, podatkach czy rabatach najczęściej są dwa kroki:
Obliczasz część odpowiadającą procentowi.
Dodajesz ją do wartości wyjściowej (podwyżka) albo odejmujesz (obniżka).
Jeśli cena wzrosła z 200 zł o 10%, nowa cena to 200 + 0,10 * 200 = 220 zł.
Przy zadaniach „najpierw wzrosło, potem spadło” trzeba uważać: druga zmiana dotyczy już nowej wartości, a nie początkowej.
11.4. Zadania tekstowe – schemat tłumaczenia na równanie
W zadaniach opisowych najważniejsze jest sensowne oznaczenie niewiadomej:
Wybierz, co oznaczyć przez x (np. cena przed podwyżką, liczba uczniów w klasie itd.).
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Jakie typy zadań z matematyki podstawowej najczęściej pojawiają się na maturze?
Na maturze podstawowej najczęściej powtarzają się zadania z: prostych równań liniowych (w tym z ułamkami i nawiasami), układów równań z dwiema niewiadomymi, funkcji liniowej (wzór, wykres, odczytywanie informacji), nierówności liniowych oraz procentów i zadań „z życia” (rabaty, VAT, podwyżki).
To właśnie te typy zadań warto mieć przećwiczone „na pamięć”, bo pojawiają się praktycznie w każdym arkuszu i często stanowią sporą część łatwych punktów.
Jakie równania liniowe muszę umieć rozwiązywać na maturę podstawową?
Na poziomie podstawowym musisz swobodnie rozwiązywać równania typu ax + b = c, równania z ułamkami (np. (x - 2)/3 + 1/2 = x/6) oraz równania, w których w mianowniku jest wyrażenie z niewiadomą (np. (x + 3)/(x - 1) = 2).
Warto przećwiczyć przede wszystkim: przenoszenie wyrazów na drugą stronę, mnożenie przez wspólny mianownik, poprawne rozwijanie nawiasów i pilnowanie dziedziny (zakaz dzielenia przez zero). Błędy rachunkowe i brak sprawdzenia dziedziny to najczęstsza przyczyna utraty punktów.
Jak przygotować się do zadań z układami równań na maturze?
Najważniejsze są układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, zarówno „czyste” (np. x + y = 10, 2x - y = 1), jak i wynikające z zadań tekstowych (wiek, bilety, liczba przedmiotów). Dobrze opanować dwie metody: podstawianie oraz dodawanie/odejmowanie równań.
Przy zadaniach tekstowych kluczowy jest dobry wybór oznaczeń i uważne tłumaczenie treści na język równań. Po zapisaniu sensownego układu samo liczenie jest zwykle proste. Warto także znać kilka przykładów prostych układów nieliniowych, gdzie suma i iloczyn dwóch liczb są podane w treści.
Co muszę wiedzieć o funkcji liniowej na maturze podstawowej?
Powinieneś umieć: rozpoznać funkcję liniową we wzorze f(x) = ax + b, odczytać współczynniki a i b, wyznaczać wzór funkcji na podstawie dwóch punktów oraz sprawdzać, czy dany punkt leży na wykresie funkcji.
Bardzo często pojawiają się też zadania z odczytywaniem informacji z wykresu: miejsce zerowe, przedział, w którym funkcja jest dodatnia/ujemna, oraz pytania o to, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca. Dobrze opanowana funkcja liniowa to „łatwe punkty” w każdym arkuszu.
Jak rozwiązywać nierówności liniowe na maturze?
Nierówności liniowe, np. 2x - 5 > 3, rozwiązujesz tak jak równania: przenosisz wyrazy, upraszczasz i na końcu zapisujesz zbiór rozwiązań. Jedyne, na co trzeba szczególnie uważać, to dzielenie lub mnożenie przez liczbę ujemną – wtedy znak nierówności trzeba odwrócić.
Na maturze często trzeba też przedstawić rozwiązanie na osi liczbowej lub w zapisie przedziałowym, np. x ∈ (4; +∞). Warto poćwiczyć szybko rysowanie takich przedziałów, bo zadania z nierówności bywają jednymi z najprostszych w całym arkuszu.
Jakie zadania z procentami najczęściej pojawiają się na maturze z matematyki podstawowej?
Najczęściej pojawiają się: obliczanie procentu danej liczby (np. „20% z 150”), obliczanie liczby na podstawie danego procentu (np. „45 to 15% pewnej liczby”), a także zadania z rabatami, podwyżkami, podatkiem VAT, zmianą ceny w czasie.
Przed egzaminem dobrze opanować zamianę procentów na ułamki i liczby dziesiętne oraz kilka typowych schematów: „po obniżce o p%” i „po podwyżce o p%”. Dzięki temu zadania „z życia” stają się rutynowe i nie zabierają dużo czasu na egzaminie.
Co warto zapamiętać
Na maturze podstawowej kluczowe jest perfekcyjne opanowanie podstawowych typów zadań, a nie „przerabianie wszystkiego” – powtarzamy kilkadziesiąt najczęstszych schematów, co realnie pozwala przekroczyć 70–80%.
Proste równania liniowe (także z ułamkami, nawiasami i liczbami ujemnymi) muszą być rozwiązywane automatycznie, bo pojawiają się niemal w każdym arkuszu, często jako fragment dłuższego zadania.
Przy równaniach z ułamkami kluczową techniką jest mnożenie obu stron przez wspólny mianownik, a typowe błędy to pomijanie któregoś składnika, mylenie znaków i gubienie nawiasów.
W równaniach z dzieleniem przez wyrażenie zawierające x konieczne jest pilnowanie dziedziny (zakaz dzielenia przez zero); brak sprawdzenia warunków potrafi „zabić” poprawnie policzone rozwiązanie.
Układy równań (szczególnie liniowe z dwiema niewiadomymi) są podstawowym narzędziem w zadaniach tekstowych; ich skuteczne rozwiązywanie zależy głównie od sensownego oznaczenia niewiadomych.
Typowe zadania tekstowe (wiek, bilety, liczebność grup) sprowadzają się do prostych układów równań, które po poprawnym zapisaniu praktycznie „same się rozwiązują”.
Funkcje liniowe wymagają umiejętności przechodzenia między wykresem a wzorem f(x) = ax + b, w tym wyznaczania współczynnika kierunkowego z dwóch punktów i odczytywania z wykresu podstawowych informacji o funkcji.
