Rachunek prawdopodobieństwa: drzewka, kombinacje i typowe haczyki

1. Rachunek prawdopodobieństwa na maturze – o co w tym naprawdę chodzi?

1.1. Intuicja najpierw, wzory później

Rachunek prawdopodobieństwa na maturze z matematyki często kojarzy się z suchymi wzorami: permutacje, kombinacje, wariacje, symbol Newtona, drzewka, klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Tymczasem kluczowe są trzy pytania: co jest losowane?, czy kolejność ma znaczenie?, czy elementy się powtarzają?. Jeśli na nie dobrze odpowiesz, wybór właściwego wzoru staje się niemal automatyczny.

W zadaniach maturalnych rachunek prawdopodobieństwa zwykle łączy się z kombinatoryką (liczeniem przypadków) oraz z prostą statystyką (częstość występowania zdarzenia). Dlatego tak często pojawiają się drzewka, tabelki i opisy typu „losujemy bez zwracania” lub „losujemy z zwracaniem”. Im szybciej zaczniesz na to patrzeć jak na proste historie z pudełkami, kulkami, kartami czy uczniami w klasie, tym mniej przerażające będą zadania.

W rachunku prawdopodobieństwa najważniejszy jest schemat myślenia:

1. Określ przestrzeń zdarzeń (wszystkie możliwe wyniki doświadczenia).
2. Policz liczbę wszystkich możliwych wyników (moc przestrzeni zdarzeń).
3. Policz liczbę wyników „sprzyjających” zdarzeniu, o które pyta zadanie.
4. Użyj wzoru: P(A) = liczba wyników sprzyjających / liczba wszystkich wyników.

Wszystko inne – drzewka, kombinacje, permutacje – jest po prostu narzędziem do wykonania punktów 2 i 3. Gdy zaczniesz to tak traktować, rachunek prawdopodobieństwa robi się o wiele prostszy i przewidywalny.

1.2. Słowniczek pojęć, bez zbędnej teorii

Najczęściej używane pojęcia w zadaniach maturalnych z rachunku prawdopodobieństwa:

• Doświadczenie losowe – proces losowania, którego wyniku nie da się przewidzieć na pewno (np. rzut kostką, losowanie karty).
• Przestrzeń zdarzeń (Ω) – zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia.
• Zdarzenie – podzbiór przestrzeni zdarzeń, czyli pewien „zbiór wyników”, który nas interesuje (np. „wypadnie liczba parzysta”).
• Zdarzenie pewne – zachodzi zawsze (np. przy rzucie kostką „wypadnie liczba od 1 do 6”).
• Zdarzenie niemożliwe – nie może się zdarzyć (np. przy rzucie kostką „wypadnie 7”).
• Zdarzenia rozłączne – nie mogą zajść jednocześnie (np. „wypadnie 2” i „wypadnie 5”).
• Zdarzenia niezależne – wynik jednego nie wpływa na wynik drugiego (np. dwa niezależne rzuty uczciwą kostką).

Na maturze zwykle nie trzeba formalnych definicji. Ważne, żeby umieć rozpoznać, czy zdarzenia są niezależne (np. dwa rzuty kostką) czy zależne (losowanie kart bez zwracania), oraz czy pytają o „co najmniej”, „dokładnie” czy „co najwyżej” – bo to decyduje, jakie przypadki trzeba policzyć lub odjąć.

1.3. Gdzie drzewka, gdzie kombinacje, a gdzie logika?

W zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa pojawiają się trzy główne sposoby liczenia:

• Drzewka prawdopodobieństwa – kiedy doświadczenie przebiega etapami (np. dwa losowania, dwa rzuty, test z dwiema częściami).
• Kombinacje, permutacje, wariacje – kiedy trzeba policzyć liczbę różnych wyników (np. ile jest różnych losowań, ustawień, wyborów).
• Proste rozumowanie logiczne – szczególnie przy „co najmniej raz”, „przynajmniej jedna osoba”, „dokładnie jedna czerwona kula” itp.

Dobra praktyka na maturze:

1. Zacznij od intuicji słownej („co się tu dzieje?”).
2. Ustal, czy bardziej naturalne będzie drzewko (gdy są etapy) czy kombinacje (gdy liczymy różne wybory).
3. Na końcu podstaw prawdopodobieństwa do wzoru – ale dopiero gdy przypadki są policzone.

W kolejnych sekcjach przejście od prostych przykładów drzewek, przez kombinacje, do typowych maturalnych haczyków pokazuje, jak łączyć narzędzia i unikać najczęstszych błędów.

2. Drzewka prawdopodobieństwa – wizualny porządek w zadaniu

2.1. Jak budować drzewko krok po kroku

Drzewko prawdopodobieństwa jest idealne, gdy doświadczenie ma kilka etapów, np. dwa losowania, dwa rzuty, dwa dni rekrutacji, dwa etapy testu. Każda gałąź odpowiada jednemu możliwemu wynikowi danego etapu, a do gałęzi przypisuje się prawdopodobieństwo.

Przykład: rzucasz dwiema monetami (uczciwymi). Wyniki: orzeł (O) lub reszka (R) w każdym rzucie.

1. Etap 1: wynik pierwszego rzutu – dwie gałęzie: O, R.
   • P(O) = 1/2
   • P(R) = 1/2
2. Etap 2: z każdego wyniku rysujesz dwie gałęzie dla drugiego rzutu – O, R.
   • Z O: O→O, O→R
   • Z R: R→O, R→R
3. Przy każdej nowej gałęzi zapisujesz prawdopodobieństwo warunkowe (tu: znów 1/2 i 1/2, bo rzuty są niezależne).

Prawdopodobieństwo danego „listka” (końcowego wyniku, np. O→R) oblicza się mnożąc prawdopodobieństwa na gałęziach po drodze. Dla O→R:

P(O→R) = P(O) · P(R w 2. rzucie) = 1/2 · 1/2 = 1/4.

Wszystkie takie listki tworzą pełną przestrzeń zdarzeń: OO, OR, RO, RR – łączne prawdopodobieństwo wynosi 1 (1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4).

2.2. Gdy prawdopodobieństwa się zmieniają – losowanie bez zwracania

Drzewko szczególnie przydaje się, gdy po pierwszym losowaniu zmienia się liczba elementów, a więc zmieniają się prawdopodobieństwa. Typowy schemat: losowanie bez zwracania kart, kul, osób.

Przykład: W urnie są 3 czerwone i 2 niebieskie kule. Losujesz bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą czerwone.

1. Etap 1 (pierwsza kula):
   • P(kula czerwona) = 3/5
   • P(kula niebieska) = 2/5
2. Etap 2 (druga kula) – w zależności od tego, co wylosowano wcześniej:
   • Jeśli pierwsza była czerwona:
     • zostało 2 czerwone i 2 niebieskie, razem 4 kule;
     • P(czerwona w 2. losowaniu) = 2/4 = 1/2;
     • P(niebieska w 2. losowaniu) = 2/4 = 1/2.
   • Jeśli pierwsza była niebieska:
     • zostało 3 czerwone i 1 niebieska, razem 4 kule;
     • P(czerwona) = 3/4;
     • P(niebieska) = 1/4.

Zdarzenie „obie kule czerwone” odpowiada ścieżce: czerwona → czerwona. Prawdopodobieństwo:

P(2 czerwone) = P(czerwona w 1.) · P(czerwona w 2. | czerwona w 1.) = 3/5 · 1/2 = 3/10.

Drzewko pozwala wyraźnie zobaczyć, jak zmieniają się liczby kul w urnie i uniknąć podstawowego błędu: traktowania drugiego losowania tak, jakby było niezależne (a nie jest, bo jest bez zwracania).

2.3. Typowe zadania etapowe: testy, rekrutacja, gry

Drzewka świetnie sprawdzają się w zadaniach, w których ktoś przechodzi przez kilka etapów z różnymi prawdopodobieństwami.

Przykład: Kandydat zdaje egzamin wstępny z dwóch części: test pisemny i rozmowa. Prawdopodobieństwo zdania testu wynosi 0,7, a jeśli zda test, to prawdopodobieństwo zdania rozmowy wynosi 0,8. Jaka jest szansa, że zda całość?

Tu drzewko ma dwie gałęzie na każdym etapie:

1. Test: zda (0,7), nie zda (0,3).
2. Rozmowa:
   • Tylko jeśli zdał test: zda rozmowę (0,8), nie zda rozmowy (0,2).
   • Jeśli nie zdał testu – w ogóle nie podchodzi do rozmowy.

Zdarzenie, że zda całość: „zdany test i zdana rozmowa”. Prawdopodobieństwo:

P(zdania całości) = 0,7 · 0,8 = 0,56.

Im bardziej złożone zadanie, tym większa korzyść z narysowania drzewka, choćby na brudno. Nawet jeśli dałoby się policzyć na logikę lub z kombinatoryki, drzewko pomaga uporządkować myśli i uniknąć pominięcia jakiegoś przypadku.

2.4. Jak czytać drzewko i typowe błędy

Przy pracy z drzewkami pojawiają się powtarzalne błędy:

• Dodawanie zamiast mnożenia na ścieżce – na jednej ścieżce (z kolejnych etapów) zawsze mnożymy prawdopodobieństwa. Dodajemy tylko, gdy łączymy różne ścieżki odpowiadające temu samemu zdarzeniu.
• Pominięcie jednej z gałęzi – np. przy „co najmniej raz” trzeba wziąć pod uwagę wszystkie ścieżki spełniające warunek.
• Złe prawdopodobieństwa warunkowe – szczególnie w losowaniu bez zwracania, kiedy ktoś zapomina o zmianie liczby elementów.

Dobra praktyka przy drzewkach:

1. Przy każdym uruchomieniu nowego etapu (każdej gałęzi) zapisuj aktualną sytuację: ile elementów zostało, jaki jest teraz licznik i mianownik.
2. Na końcu sprawdź, czy suma prawdopodobieństw wszystkich listków wynosi 1 – to dobry test, czy niczego nie pominięto i nie wprowadzono błędnego ułamka.

Przy większych zadaniach (3–4 etapy) drzewko robi się rozgałęzione, ale na maturze zwykle wystarczają 2–3 etapy, więc taki rysunek jest nadal do ogarnięcia na marginesie arkusza.

3. Kombinacje, permutacje, wariacje – jak rozpoznać, który wzór?

3.1. Złoty schemat trzech pytań

Większość zadań kombinatorycznych można ugryźć, zadając sobie trzy proste pytania:

1. Czy kolejność ma znaczenie?
   • Tak → permutacje lub wariacje.
   • Nie → kombinacje.
2. Czy elementy się powtarzają?
   • Nie → zwykłe permutacje / wariacje / kombinacje.
   • Tak → odpowiednie wersje „z powtórzeniami”.
3. Ile elementów bierzemy?
   • Wszystkie z n → permutacje lub permutacje z powtórzeniami.
   • k z n → wariacje lub kombinacje.

Tabela pomocnicza porządkująca podstawowe przypadki:

3.2. Permutacje – wszystkie ustawienia naraz

Permutacje pojawiają się zawsze, gdy trzeba policzyć, na ile sposobów można ustawić wszystkie elementy w kolejności: krzesła w rzędzie, litery w haśle, osoby w kolejce.

Przykład: Na ile sposobów można ustawić w szeregu 5 uczniów?

Mamy 5 różnych osób, bierzemy wszystkie, kolejność ma znaczenie. To klasyczne permutacje:

P₅ = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Gdy pojawiają się elementy identyczne, wchodzi wzór na permutacje z powtórzeniami. Dobrze działa skojarzenie z literami w wyrazie.

Przykład: Na ile sposobów można ustawić litery w słowie „KASA”?

• 4 litery w sumie: K, A, S, A;
• dwie litery A są identyczne.

Liczba permutacji z powtórzeniami:

P = 4! / 2! = 24 / 2 = 12.

Typowy błąd: użycie samego 4!, jakby wszystkie litery były różne. W zadaniach z powtarzającymi się cyframi lub literami przyda się krótka kontrola: czy po zamianie miejscami dwóch identycznych elementów powstaje nowy układ? Jeśli nie, trzeba dzielić przez odpowiednie silnie.

3.3. Wariacje – kolejność i „k z n”

Wariacje pasują do sytuacji, w których z n elementów wybieramy tylko część, ale kolejność tej części ma znaczenie. Przykładowo: obsadzanie 3 stanowisk w klasie (przewodniczący, zastępca, skarbnik) spośród 25 uczniów.

Przykład: W klasie jest 20 osób. Na ile sposobów można wybrać i ustawić w kolejności 3 osoby do prezentacji (pierwszy, drugi, trzeci mówca)?

• n = 20 (wszyscy dostępni);
• k = 3 (tylu wybieramy);
• kolejność ma znaczenie, nikt nie może się powtarzać.

Liczba wariacji bez powtórzeń:

V(20, 3) = 20 · 19 · 18 = 6840.

Gdy powtórzenia są możliwe (np. kod PIN, w którym cyfry mogą się powtarzać), przechodzimy na wariacje z powtórzeniami.

Przykład: Ile czterocyfrowych kodów można utworzyć z cyfr 0–9, jeśli cyfry mogą się powtarzać?

• n = 10 (cyfry 0–9);
• k = 4 (długość kodu);
• kolejność ma znaczenie, powtórzenia są dozwolone.

V'(10, 4) = 10⁴ = 10 000.

Takie zadania często daje się policzyć prostym „miejscem na cyfrę”: każde miejsce ma 10 możliwości, razem 10 · 10 · 10 · 10. To w gruncie rzeczy dokładnie wzór na wariacje z powtórzeniami.

3.4. Kombinacje – wybory bez kolejności

Kombinacje wchodzą do gry, gdy wybieramy „grupę” lub „podzbiór” i ułożenie w środku nie ma znaczenia. Zespół projektowy, komisja, delegacja – tam najczęściej jest właśnie kombinatoryka.

Przykład: W klasie jest 25 osób. Na ile sposobów można wybrać 3-osobową delegację na konkurs?

• n = 25;
• k = 3;
• kolejność osób w delegacji jest obojętna.

Liczba kombinacji:

C(25, 3) = 25! / (3! · 22!) = (25 · 24 · 23) / (3 · 2 · 1) = 2300.

W zadaniach z kombinacjami z powtórzeniami (rzadszych na podstawowej maturze) typowe sformułowanie to: „na ile sposobów można wybrać k cukierków z n rodzajów”, gdy można brać kilka sztuk tego samego rodzaju. Zwykle da się je jednak obejść sprytem lub mniejszego kalibru kombinatoryką.

3.5. Jak nie pomylić wzorów – miniściąga myślowa

Zamiast zapamiętywać definicje, można zastosować krótki schemat „od ogółu do szczegółu”:

1. Najpierw myśl: ustawiam czy tylko wybieram?
   • Ustawiam (pierwszy, drugi, trzeci…) → permutacje / wariacje.
   • Tylko wybieram (grupa osób, zestaw kul) → kombinacje.
2. Następnie: czy każdy może się pojawić tylko raz?
   • Tak → bez powtórzeń.
   • Nie, ten sam element/kula/litera może pojawić się kilka razy → z powtórzeniami.
3. Na końcu: czy biorę wszystkie n, czy tylko k z n?
   • Wszystkie → permutacje (ew. z powtórzeniami).
   • k z n → wariacje lub kombinacje.

Jeśli w zadaniu pojawia się słowo „kolejność” albo naturalne jest rozróżnienie roli („pierwszy”, „drugi”, „przewodniczący”), zwykle lądujemy przy wariacjach/permutacjach. Gdy opis jest typu „5-osobowa drużyna”, „3-osobowa komisja”, „zbiór 4 kul” – dużo częściej chodzi o kombinacje.

3.6. Łączenie kombinatoryki z prawdopodobieństwem

Na maturze kombinacje i permutacje rzadko występują „same dla siebie”. Najczęściej służą do policzenia liczby przypadków w zadaniu z prawdopodobieństwa klasycznego:

P(A) = liczba przypadków sprzyjających / liczba wszystkich możliwych przypadków

Przykład: Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie będą pikowe?

1. Liczba wszystkich możliwych 5-elementowych zestawów kart – kolejność nie ma znaczenia:

   Ω: C(52, 5).

2. Liczba sprzyjających zestawów – trzeba wybrać 5 z 13 pików:

   A: C(13, 5).

3. Prawdopodobieństwo:

   P(A) = C(13, 5) / C(52, 5).

Ten schemat „kombinacje na górze i na dole” wraca w wielu zadaniach: karty, uczniowie, drużyny, komisje. Najpierw liczysz wszystkie możliwe wybory (najczęściej kombinacje), potem te spełniające warunek, a na końcu tworzysz ułamek.

4. Typowe haczyki i „pułapki” na maturze

4.1. „Co najmniej raz”, „przynajmniej jedna osoba” – liczenie przez dopełnienie

Sformułowania „co najmniej raz”, „przynajmniej jedna osoba”, „minimum jedno trafienie” potrafią rozhulać drzewko na kilkanaście gałęzi. Dużo bezpieczniej jest wtedy skorzystać z dopełnienia:

P(co najmniej jedna…) = 1 − P(ani jednej…)

Przykład: Rzucasz 4 razy uczciwą monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej raz orzeł?

1. Bez dopełnienia trzeba by policzyć: „1 orzeł”, „2 orły”, „3 orły”, „4 orły” – cztery zdarzenia i kilka kombinacji.
2. Z dopełnieniem wystarczy policzyć „ani jednego orła” – czyli same reszki.

P(4 reszki) = (1/2)⁴ = 1/16. Zatem:

P(co najmniej jeden orzeł) = 1 − 1/16 = 15/16.

Ten sam motyw pojawia się przy kulach, kartach, loteriach. Gdy tylko widzisz „co najmniej raz”, warto od razu zapytać się: „a jak wygląda sytuacja, gdy zero razy?”. Jeśli ją łatwo policzyć – użyj dopełnienia.

4.2. „Dokładnie jedna”, „dokładnie dwie” – dobór ścieżek lub kombinacje

Frazy „dokładnie jedna czerwona kula”, „dokładnie dwóch chłopców” wymagają precyzyjnego wybrania przypadków. Są dwa sprawdzone sposoby:

• rysowanie drzewka i wybieranie odpowiednich ścieżek,
• policzenie liczby „dobrych” wyborów przy pomocy kombinacji.

Przykład: W urnie są 4 czerwone i 3 niebieskie kule. Losujesz jednocześnie 3 kule (bez zwracania). Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna będzie czerwona?

1. Wszystkie możliwe trójki kul (bez kolejności):

   Ω: C(7, 3).

2. Przypadki sprzyjające: 1 czerwona i 2 niebieskie.
   • wybierasz 1 z 4 czerwonych → C(4, 1);
   • wybierasz 2 z 3 niebieskich → C(3, 2).

   A: C(4, 1) · C(3, 2).

3. Prawdopodobieństwo:

   P(A) = [C(4, 1) · C(3, 2)] / C(7, 3).

Takie rozpisanie na kombinacje często jest czytelniejsze niż ogromne drzewko, zwłaszcza gdy losujemy naraz więcej niż 2 elementy.

4.3. „Losowanie jednoczesne” vs „po kolei” – dwa różne podejścia

Formułowanie „losujemy jednocześnie 3 kule” sugeruje kombinacje. Jeśli losowanie jest „kolejno po jednej”, naturalne jest drzewko. Matematycznie wynik będzie taki sam, ale sposób myślenia jest inny.

Przykład (kontynuacja): 4 czerwone i 3 niebieskie kule, losujemy 3 po kolei bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna będzie czerwona?

Można to policzyć drzewkiem, ale wtedy trzeba by uwzględnić kolejne układy:

• C N N,
• N C N,
• N N C,

i do każdego obliczyć prawdopodobieństwo ścieżki, a potem je zsumować. Uzyskany wynik będzie równoważny temu z liczenia przy pomocy kombinacji (C(4,1) · C(3,2) / C(7,3)), ale droga jest dłuższa i łatwiej o przeoczenie jednego z ustawień.

Praktyczny trik: jeśli w treści występuje słowo „jednocześnie”, „naraz”, „wybieramy z” – najpierw spróbuj ugryźć zadanie kombinacjami. Jeśli mowa o „kolejno”, „pierwszy, drugi, trzeci rzut”, „pierwsze, drugie losowanie” – zacznij od drzewka.

4.4. Niezależność vs losowanie bez zwracania

Jedna z najczęstszych pomyłek: traktowanie losowania bez zwracania jak niezależnych prób. To prowadzi do podstawiania w każdym kroku tego samego ułamka, zamiast aktualizować licznik i mianownik.

Drobny test na niezależność:

• Rzuty kostką, rzut monetą, kolejne dni pogody – zwykle nie wpływają na siebie → można stosować niezależność.
• Wyciąganie kul z urny, kart z talii, uczniów z klasy, bez zwracania – każde losowanie zmienia sytuację.

Jeśli sytuacja się zmienia, drugie prawdopodobieństwo trzeba obliczać „od nowa”, w oparciu o nowy stan (np. mniejsza liczba kul w urnie).

4.5. „Co najwyżej”, „nie więcej niż” – kilka przypadków zamiast wszystkich

Jeśli w treści pojawia się „co najwyżej 2 błędy”, „nie więcej niż 3 czerwone kule”, wskazane jest z góry ograniczenie liczby rozpatrywanych sytuacji. Zamiast rozpisywać cały rozkład, skupiamy się na małej liczbie możliwości.

Przykład: Student odpowiada na 5 pytań testowych jednokrotnego wyboru, każde ma 4 odpowiedzi, strzela losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odpowie poprawnie na co najwyżej 1 pytanie?

1. Prawdopodobieństwo pojedynczego trafienia:

   P(poprawna) = 1/4,   P(błędna) = 3/4.

2. Możliwe liczby trafień od 0 do 5. „Co najwyżej 1” oznacza: 0 lub 1 poprawna odpowiedź.
3. 0 poprawnych odpowiedzi:

   wszystkie 5 musi być błędne → P(0) = (3/4)⁵.

4. 1 poprawna odpowiedź:

   trzeba wybrać, w którym z 5 pytań padnie poprawna odpowiedź → C(5, 1) „ustawień”,

   każde ustawienie ma prawdopodobieństwo (1/4)·(3/4)⁴, więc:

   P(1) = C(5, 1) · (1/4) · (3/4)⁴.

5. Szukane prawdopodobieństwo:

   P(co najwyżej 1 poprawna) = P(0) + P(1).

Zauważenie, że bierzemy tylko 0 i 1 trafienie, oszczędza rachunków. Gdyby tu pojawiło się „co najmniej 1 poprawna”, wygodniejsza byłaby metoda z dopełnieniem:

P(co najmniej 1) = 1 − P(0).

4.6. Mylenie „dokładnie” z „co najmniej”

Bardzo częste jest nieuważne czytanie fragmentów typu:

• „dokładnie dwie osoby zdały egzamin”,
• „co najmniej dwie osoby zdały egzamin”.

Pierwsze oznacza, że zdały dwie i ani jedna więcej. Drugie dopuszcza wszystkie przypadki: 2, 3, 4, … aż do wszystkich. W praktyce daje to inne kombinacje w liczniku.

Schemat:

• „dokładnie k” → tylko jeden wynik (np. tylko 2 zdane),
• „co najmniej k” → suma wielu przypadków (k, k+1, k+2, …), często lepiej liczonych przez dopełnienie.

Przykład: W grupie 10 osób każda niezależnie zdaje egzamin z prawdopodobieństwem 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 8 osób zda?

Wystarczy:

• wybrać, które 8 osób zda → C(10, 8),
• dla zadanego układu: 8 zdanych i 2 oblane.

P(dokładnie 8) = C(10, 8) · 0,7⁸ · 0,3².

Gdyby zamiast tego było „co najmniej 8 osób zda”, trzeba by zsumować:

P(8) + P(9) + P(10).

Dlatego tak ważne jest odczytywanie słówek „dokładnie”, „co najmniej”, „co najwyżej” – one definiują, ile składników znajdzie się w ostatecznym wyniku.

4.7. „Przynajmniej jeden z każdego rodzaju” – wymuszone wybory

Kolejny klasyk: losowanie elementów z kilku „rodzajów”, przy czym każdy rodzaj ma być reprezentowany minimum raz. Pojawia się wtedy naturalna dwuetapowość:

1. najpierw zadbać, żeby każdy rodzaj się pojawił,
2. potem „rozdać” pozostałe elementy już bez ograniczeń.

Przykład: Z urny zawierającej 3 czerwone, 4 niebieskie i 5 zielonych kul losujemy jednocześnie 5 kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych znajdzie się przynajmniej jedna kula każdego koloru?

1. Liczba wszystkich możliwych wyborów 5 kul:

   Ω: C(3+4+5, 5) = C(12, 5).

2. Warunek: co najmniej jedna czerwona, co najmniej jedna niebieska i co najmniej jedna zielona.
3. Możliwe podziały liczby 5 na trzy dodatnie części (bo każdy kolor ma się pojawić):
   • 1 czerwona, 1 niebieska, 3 zielone,
   • 1 czerwona, 2 niebieskie, 2 zielone,
   • 1 czerwona, 3 niebieskie, 1 zielona,
   • 2 czerwone, 1 niebieska, 2 zielone,
   • 2 czerwone, 2 niebieskie, 1 zielona.
4. Dla każdego podziału liczymy kombinacje:
   • 1C,1N,3Z → C(3,1)·C(4,1)·C(5,3),
   • 1C,2N,2Z → C(3,1)·C(4,2)·C(5,2),
   • 1C,3N,1Z → C(3,1)·C(4,3)·C(5,1),
   • 2C,1N,2Z → C(3,2)·C(4,1)·C(5,2),
   • 2C,2N,1Z → C(3,2)·C(4,2)·C(5,1).

   Liczba sprzyjających zestawów:

   A = C(3,1)C(4,1)C(5,3) + C(3,1)C(4,2)C(5,2) + C(3,1)C(4,3)C(5,1) + C(3,2)C(4,1)C(5,2) + C(3,2)C(4,2)C(5,1).

5. Prawdopodobieństwo:

   P(A) = A / C(12, 5).

Jeśli liczby robią się duże, można liczyć przez dopełnienie, wykluczając przypadki z „brakiem” któregoś koloru, ale wymaga to ostrożnego użycia zasady włączeń–wyłączeń (bo np. jednocześnie może brakować dwóch kolorów).

4.8. Zasada włączeń–wyłączeń w prostych zadaniach

Zasada włączeń–wyłączeń brzmi groźnie, a w wersji matury podstawowej często sprowadza się do policzenia:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

lub w wersji prawdopodobieństw:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Najczęściej pojawia się przy sformułowaniach typu „co najmniej jedno z”, „student zdaje matematykę lub fizykę”, „uczeń wybrał język angielski lub niemiecki (lub oba)”. Bez odjęcia części wspólnej łatwo policzyć coś podwójnie.

Przykład: W klasie 30 uczniów, 18 lubi matematykę, 15 lubi informatykę, a 10 lubi oba przedmioty. Ilu uczniów lubi przynajmniej jeden z tych przedmiotów?

Zapiszmy:

• |M| = 18,
• |I| = 15,
• |M ∩ I| = 10.

Wtedy:

|M ∪ I| = 18 + 15 − 10 = 23.

Jeśli pytanie dotyczyłoby prawdopodobieństwa, np. losowo wybrany uczeń lubi przynajmniej jeden z tych przedmiotów, wówczas:

P(M ∪ I) = 23/30.

Na podobnej zasadzie działają proste zadania z talią kart, gdzie występują zdania w rodzaju „prawdopodobieństwo, że wylosowana karta będzie figurą lub kierem”.

4.9. „Warunek” w treści – prawdopodobieństwo warunkowe bez wzorów na pamięć

Pojęcia „pod warunkiem, że…”, „wiadomo, że wylosowano chłopca” oznaczają zmianę przestrzeni zdarzeń: nie patrzymy już na wszystkie możliwości, lecz jedynie na te, które spełniają warunek.

Typowy błąd to liczenie prawdopodobieństwa w „starej” przestrzeni i ignorowanie informacji z warunku.

Przykład: W klasie jest 12 chłopców i 18 dziewcząt. Losujemy jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że to dziewczyna, jeśli wiadomo, że ta osoba chodzi na kółko matematyczne, na które uczęszcza 8 chłopców i 10 dziewcząt?

1. Nowa „przestrzeń”: uczniowie z kółka matematycznego. Jest ich 8 + 10 = 18.
2. Interesujący nas przypadek: dziewczęta z kółka – 10 osób.
3. Prawdopodobieństwo:

   P(dziewczyna | kółko) = 10/18 = 5/9.

Nie trzeba zapamiętywać wzoru:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B),

jeśli wprost potrafimy wskazać „nową” grupę możliwych wyników i policzyć w niej udział przypadków sprzyjających.

5. Drzewka, tablice, schematy – jak sprytnie organizować przypadki

5.1. Kiedy drzewko, kiedy tabelka, kiedy „na piechotę”

Samo drzewko nie jest celem – chodzi o uporządkowanie przypadków tak, żeby niczego nie zgubić i się nie powtórzyć. W prostych sytuacjach („2 rzuty kostką”, „3 losowania z urny”) drzewko jest wygodne i intuicyjne. Gdy liczba etapów rośnie, zamienia się w dżunglę.

Kilka praktycznych wskazówek:

• Drzewko – gdy jest mało etapów (do 3–4) i w każdym mało możliwości (np. 2–3 wyniki).
• Tabelka – przy 2 etapach z większą liczbą możliwości, szczególnie równorzędnych (np. dwa rzuty kostką → tabela 6×6).
• Kombinacje / permutacje – gdy losowanie jest „naraz” albo opis brzmi jak wybór grupy, obsady, delegacji.

Przykład tabelki: dwa rzuty kostką, interesuje nas suma oczek.

Jeżeli potrzebne jest np. prawdopodobieństwo sumy równej 7, widać od razu 6 sprzyjających wyników na 36 wszystkich.

5.2. Redukowanie liczby gałęzi – symetria i zgrupowania

Wielokrotne, „symetryczne” losowania (rzuty kostką, monetą) mają tę zaletę, że nie trzeba zawsze rozpisywać wszystkich wyników z osobna. Można grupować je kategoriami.

Przykład: 4 rzuty monetą, prawdopodobieństwo wypadnięcia dokładnie 2 orłów.

Zamiast wypisywać 16 ciągów długości 4, wystarczy zauważyć:

• każdy wynik ma takie samo prawdopodobieństwo (1/2)⁴,
• interesuje nas tylko liczba orłów, nie ich kolejność.

Liczbę wyników z dokładnie 2 orłami daje C(4, 2). Stąd:

P(dokładnie 2 orły) = C(4, 2) · (1/2)⁴.

Drzewko można zostawić „na marginesie”, jako szkic pomagający zrozumieć sytuację, natomiast rachunek opierać już na kombinacjach.

5.3. Rozpoznawanie rozkładu „testowego” (schemat Bernoulliego)

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Jak rozpoznać, czy w zadaniu z rachunku prawdopodobieństwa użyć drzewka, a kiedy kombinacji?

Drzewko stosuj wtedy, gdy doświadczenie przebiega etapami: są kolejne losowania, rzuty, etapy testu, dni rekrutacji itp. Każdy etap to kolejne „rozwidlenie” i łatwo wtedy śledzić, jak zmieniają się prawdopodobieństwa (zwłaszcza przy losowaniu bez zwracania).

Kombinacje, permutacje i inne wzory używamy, gdy najważniejsze jest policzenie liczby możliwych wyników: ustawień, wyborów, losowań, przydziałów. Typowe pytania: „na ile sposobów…?”, „ile jest możliwości…?”. Drzewko porządkuje etapy, kombinatoryka liczy liczbę przypadków.

Co to znaczy „losowanie z zwracaniem” i „bez zwracania” w zadaniach maturalnych?

Losowanie z zwracaniem oznacza, że po wylosowaniu element wraca do zbioru. Liczba elementów się nie zmienia, więc prawdopodobieństwa w kolejnych losowaniach są takie same i losowania są niezależne (np. każdy rzut uczciwą kostką).

Losowanie bez zwracania oznacza, że po wylosowaniu elementu nie odkładamy go z powrotem. Liczba elementów maleje, a prawdopodobieństwa kolejnych wyników się zmieniają. Takie losowania są zależne i warto wtedy rysować drzewko, aby nie pomylić się przy liczeniu szans w drugim, trzecim itd. losowaniu.

Jak odróżnić zdarzenia niezależne od zależnych na maturze z matematyki?

Zdarzenia niezależne to takie, gdzie wynik jednego nie wpływa na drugie. Klasyczne przykłady: kolejne rzuty uczciwą kostką, kolejne rzuty monetą, odpowiedzi dwóch różnych, losowo dobranych osób na pytanie ankiety (przy założeniu braku wpływu).

Zdarzenia zależne pojawiają się najczęściej przy losowaniu bez zwracania: wyciągnięcie jednej karty z talii zmienia szanse wylosowania kolejnej karty danego koloru czy figury. Na maturze zwykle w treści masz wyraźne: „losujemy bez zwracania” lub sytuację, w której liczba elementów po pierwszym etapie doświadczenia się zmienia.

Jak liczyć prawdopodobieństwo, gdy w treści jest „co najmniej raz” lub „przynajmniej jedna”?

Bardzo często najprościej jest skorzystać z metody dopełnienia. Zamiast liczyć wiele skomplikowanych przypadków „co najmniej raz”, obliczasz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego („ani razu się nie zdarzyło”) i odejmujesz od 1:

• P(co najmniej raz) = 1 − P(ani razu)

Na przykład: prawdopodobieństwo, że przy dwóch rzutach kostką wypadnie co najmniej jedna szóstka, łatwiej liczyć jako 1 − P(ani jednej szóstki). P(ani jednej szóstki) = (5/6)·(5/6) = 25/36, więc szukane prawdopodobieństwo to 1 − 25/36 = 11/36.

Jak krok po kroku obliczyć prawdopodobieństwo z definicji klasycznej na maturze?

W klasycznej definicji prawdopodobieństwa zakładamy, że wszystkie wyniki są jednakowo możliwe. Wtedy:

• określasz przestrzeń zdarzeń – wszystkie możliwe wyniki doświadczenia,
• liczysz liczbę wszystkich możliwych wyników (moc przestrzeni zdarzeń),
• liczysz liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu, o które pyta zadanie,
• stosujesz wzór: P(A) = liczba wyników sprzyjających / liczba wszystkich wyników.

Drzewka, kombinacje i permutacje są tylko narzędziami do poprawnego policzenia dwóch liczb z definicji: liczby wszystkich przypadków i liczby przypadków sprzyjających.

Jakie są najczęstsze błędy w zadaniach z drzewek prawdopodobieństwa na maturze?

Najczęściej pojawia się mylenie dodawania z mnożeniem: na jednej ścieżce (kolejne etapy tego samego scenariusza) prawdopodobieństwa zawsze mnożysz, a dodajesz dopiero prawdopodobieństwa różnych, rozłącznych scenariuszy (np. „albo tak, albo tak”).

Drugi częsty błąd to traktowanie losowania bez zwracania jak niezależnego – wpisywanie tych samych ułamków na kolejnych gałęziach zamiast zmiany liczników i mianowników po każdym losowaniu. Trzeci problem to pomijanie niektórych gałęzi, czyli niepełne drzewko, co prowadzi do zaniżenia lub zawyżenia wyniku.

Jak przygotować się do zadań z rachunku prawdopodobieństwa na maturę podstawową i rozszerzoną?

Warto najpierw opanować intuicję: w każdym zadaniu świadomie odpowiadaj sobie na pytania: co dokładnie jest losowane?, czy kolejność ma znaczenie?, czy elementy się powtarzają?, czy losujemy z czy bez zwracania?. Dopiero później dobieraj wzór lub rysuj drzewko.

Następnie poćwicz typowe schematy: drzewka dla dwóch–trzech etapów, kombinacje wyboru kilku elementów z większego zbioru, zadania na „co najmniej raz” i „dokładnie jedna”. Rozwiązuj gotowe zadania maturalne krok po kroku, sprawdzaj rozwiązania i analizuj, gdzie zadanie wymagało logiki, a gdzie kombinatoryki lub drzewka.

Co warto zapamiętać

• Kluczem do zadań z rachunku prawdopodobieństwa na maturze są trzy pytania: co jest losowane, czy kolejność ma znaczenie i czy elementy się powtarzają – dopiero potem wybiera się wzory.
• Standardowy schemat rozwiązywania zadań to: określić przestrzeń zdarzeń, policzyć wszystkie możliwe wyniki, policzyć wyniki sprzyjające i zastosować P(A) = liczba sprzyjających / liczba wszystkich.
• Drzewka, kombinacje, permutacje i inne narzędzia służą wyłącznie do policzenia liczby przypadków w krokach 2 i 3 – nie są celem samym w sobie.
• W praktyce maturalnej ważniejsze od formalnych definicji jest rozpoznanie, czy zdarzenia są niezależne czy zależne oraz czy chodzi o „dokładnie”, „co najmniej” czy „co najwyżej”.
• Drzewka prawdopodobieństwa są najwygodniejsze, gdy doświadczenie przebiega etapami (kilka losowań, kilka rzutów), szczególnie gdy po każdym etapie zmieniają się prawdopodobieństwa (losowanie bez zwracania).
• Kombinacje i permutacje wykorzystuje się wtedy, gdy trzeba policzyć liczbę możliwych wyników/ustawień, natomiast w wielu zadaniach skuteczne bywa też proste rozumowanie logiczne.
• Skuteczna strategia rozwiązywania to: najpierw zrozumieć sytuację słownie, potem dobrać narzędzie (drzewko lub kombinatorykę), a dopiero na końcu wstawiać liczby do wzoru na prawdopodobieństwo.