Równania liniowe to absolutna podstawa. Na maturze pojawiają się zarówno wprost, jak i „ukryte” w zadaniach z treścią, geometrii analitycznej czy funkcji. Typowe równanie liniowe ma postać:
Przenieś x na jedną stronę: 5x – 3x = 2 + 7 ⇒ 2x = 9.
Podziel przez 2: x = 9/2.
Przykład 4 (z ułamkami):
Rozwiąż: (frac{2x – 3}{3} = frac{x + 1}{2}).
Najwygodniej pomnożyć obie strony przez wspólny mianownik, tu 6:
6 · (frac{2x – 3}{3}) = 2 · (2x – 3) = 4x – 6,
6 · (frac{x + 1}{2}) = 3 · (x + 1) = 3x + 3.
Dostajemy: 4x – 6 = 3x + 3.
Przenieś 3x na lewo, -6 na prawo: 4x – 3x = 3 + 6 ⇒ x = 9.
Typowy błąd maturalny to rozsypanie się na ułamkach – nieuporządkowane liczenie, brak wspólnego mianownika albo pomijanie nawiasów przy mnożeniu. Dobrym nawykiem jest zawsze:
napisać pośredni krok z pełnym działaniem na mianownikach,
wprowadzać nawias, gdy licznik jest sumą/różnicą (np. 6 · (frac{x – 2}{3}) = 2(x – 2), a nie 2x – 2).
1.3. Równania z parametrem – typowy motyw rozszerzony
Na poziomie rozszerzonym pojawiają się równania liniowe z parametrem (litera typu a, m, k). Zazwyczaj trzeba:
ustalić, dla jakich wartości parametru równanie ma jedno rozwiązanie,
dla jakich nie ma rozwiązań,
czasem rozwiązać równanie dla konkretnej wartości parametru.
Przykład 5:
Rozważ równanie: (2a – 1)x = 4. Dla jakich a równanie ma jedno rozwiązanie, a dla jakich nie ma rozwiązań?
Jeśli 2a – 1 ≠ 0, to dzielimy przez współczynnik przy x i jest dokładnie jedno rozwiązanie:
x = (frac{4}{2a – 1}).
Jeśli 2a – 1 = 0, to 2a = 1 → a = 1/2.
Wtedy równanie ma postać 0 · x = 4, czyli 0 = 4 → brak rozwiązań.
Odpowiedź:
dla a ≠ 1/2 – jedno rozwiązanie,
dla a = 1/2 – brak rozwiązań.
W zadaniach maturalnych z parametrem bardzo pomaga schemat:
Przekształć równanie do jak najprostszego kształtu.
Sprawdź, dla jakich parametrów coś dzielisz, a dla jakich nie wolno.
Rozpatrz osobno przypadki (np. a = 2 i a ≠ 2).
2. Równania kwadratowe – pełen przegląd typów zadań
2.1. Klasyczne równania kwadratowe
Równanie kwadratowe ma postać: ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0. Trzy podstawowe metody rozwiązywania:
W wielu zadaniach maturalnych równanie kwadratowe daje się szybko rozłożyć na iloczyn, co skraca rachunki i zmniejsza ryzyko błędu.
Najczęściej wykorzystywane wzory:
(x + a)² = x² + 2ax + a²,
(x – a)² = x² – 2ax + a²,
x² – a² = (x – a)(x + a).
Przykład 7:
Rozwiąż: x² – 9 = 0.
x² – 9 = x² – 3² = (x – 3)(x + 3).
Iloczyn dwóch liczb jest zerem, gdy co najmniej jedna z nich jest zerem:
x – 3 = 0 ⇒ x = 3,
x + 3 = 0 ⇒ x = -3.
Przykład 8:
Rozwiąż: x² – 6x + 9 = 0.
x² – 6x + 9 = (x – 3)², bo 2 · 3 = 6 i 3² = 9.
Równanie (x – 3)² = 0 ma jedno rozwiązanie: x = 3.
Na maturze często opłaca się zanim sięgniesz po deltę, spróbować „rozpisać” równanie na iloczyn. Kiedy to działa?
gdy c jest „ładną” liczbą i łatwo znaleźć pary liczb, których iloczyn to c, a suma to b,
gdy widzisz w trzecim wyrazie kwadrat (np. 4, 9, 16, 25…),
gdy równanie przypomina wzór (x ± a)².
2.3. Równania kwadratowe przez wyłączanie wspólnego czynnika
Jeśli we wszystkich wyrazach równania występuje wspólny czynnik (np. x), zrób z nim porządek. To prosty trick, a często ratuje w zadaniu na punkty.
Przykład 9:
Rozwiąż: x² – 4x = 0.
Wyłącz wspólny czynnik x:
x² – 4x = x(x – 4).
Iloczyn jest zerem, gdy:
x = 0 lub x – 4 = 0 ⇒ x = 4.
Ten motyw często wraca w nierównościach kwadratowych, gdzie po prawej stronie jest 0. Najpierw przekształca się do postaci iloczynu, a potem rozwiązuje nierówność „na przedziałach”.
2.4. Równania kwadratowe z parametrem (poziom rozszerzony)
Rozwiązania równań kwadratowych z parametrem łączy się z analizą delty. Klasyczne polecenia:
wyznacz wszystkie wartości parametru, dla których równanie ma dwa, jedno, zero rozwiązań,
dodatkowo – rozwiązania spełniają dodatkowy warunek (np. są dodatnie).
Przykład 10:
Rozważ równanie: x² + (a – 2)x + a = 0. Dla jakich wartości a równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste?
Rozwiąż nierówność kwadratową (sposób opisany szerzej w dalszej części):
Najpierw równanie: a² – 8a + 4 = 0.
Δa = (-8)² – 4 · 1 · 4 = 64 – 16 = 48.
(sqrt{48} = 4sqrt{3}).
a1 = (frac{8 – 4sqrt{3}}{2}) = 4 – 2√3,
a2 = (frac{8 + 4sqrt{3}}{2}) = 4 + 2√3.
Wiodący współczynnik dodatni, więc nierówność > 0 zachodzi na zewnątrz przedziału między pierwiastkami:
a < 4 – 2√3 lub a > 4 + 2√3.
Źródło: Pexels | Autor: Max Fischer
3. Nierówności liniowe – metody i typowe pułapki
3.1. Proste nierówności liniowe – krok po kroku
Nierówności liniowe wyglądają jak zwykłe równania, ale zamiast znaku „=” masz: <, >, ≤ lub ≥. Mechanika przekształcania jest prawie identyczna, z jednym kluczowym wyjątkiem przy mnożeniu i dzieleniu przez liczby ujemne.
Przykład 11:
Rozwiąż nierówność: 2x – 5 > 1.
Przenieś -5 na prawą stronę:
2x > 1 + 5 ⇒ 2x > 6.
Podziel przez 2 (liczba dodatnia, znak bez zmian):
x > 3.
Odpowiedź zapisujemy jako: x > 3 lub w postaci przedziału: (3, +∞).
Przykład 12 (z liczbą ujemną):
Rozwiąż: -3x + 2 (le) 5.
Przenieś 2 na prawo:
-3x (le) 5 – 2 ⇒ -3x (le) 3.
Podziel przez -3. Przy dzieleniu przez liczbę ujemną odwracamy znak nierówności:
x (ge) -1.
Typowy błąd maturalny: podzielenie przez liczbę ujemną bez zmiany kierunku nierówności. Dobry nawyk: gdy dzielisz przez liczbę z minusem, zatrzymaj się i świadomie zmień znak.
3.2. Nierówności z nawiasami i ułamkami
Tu pojawiają się te same techniki co przy równaniach: usuwanie nawiasów i ujednolicanie mianowników. Dochodzi jeszcze pilnowanie znaku przy mnożeniu przez liczby ujemne.
Przykład 13 (z nawiasem):
Rozwiąż: 3(2x – 1) (le) 5x + 4.
Usuń nawias:
3(2x – 1) = 6x – 3, więc:
6x – 3 (le) 5x + 4.
Przenieś 5x na lewo:
6x – 5x – 3 (le) 4 ⇒ x – 3 (le) 4.
Przenieś -3:
x (le) 7.
Przykład 14 (z ułamkami po obu stronach):
Rozwiąż: (frac{x – 1}{3}) > (frac{2x + 4}{6}).
Wspólny mianownik to 6. Pomnóż obie strony przez 6:
6 · (frac{x – 1}{3}) > 6 · (frac{2x + 4}{6})
2(x – 1) > 2x + 4.
Usuń nawias:
2x – 2 > 2x + 4.
Przenieś 2x na lewo:
2x – 2x – 2 > 4 ⇒ -2 > 4.
Sprzeczność, więc brak rozwiązań. Zbiór rozwiązań: ∅.
W zadaniach testowych taki wynik często oznacza odpowiedź typu „zbiór pusty” lub „brak liczby spełniającej warunek”.
3.3. Nierówności z parametrem – ile rozwiązań?
Nierówności liniowe z parametrem zwykle badają, kiedy jakaś zależność zachodzi dla wszystkich, dla żadnych albo dla części liczb rzeczywistych.
Przykład 15:
Rozważ nierówność: (a – 1)x > 2. Opisz zbiór rozwiązań w zależności od parametru a.
Trzeba rozpatrzyć trzy przypadki:
a – 1 > 0 (czyli a > 1),
a – 1 < 0 (czyli a < 1),
a – 1 = 0 (czyli a = 1).
Przypadek 1: a > 1.
Dzielimy przez liczbę dodatnią:
x > (frac{2}{a – 1}).
Przypadek 2: a < 1.
Dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak:
x < (frac{2}{a – 1}).
Przypadek 3: a = 1.
Wtedy (a – 1)x > 2 staje się 0 · x > 2, czyli 0 > 2 – sprzeczność.
Brak rozwiązań.
W zadaniach otwartych dobrze jest wyraźnie wypisać wszystkie przypadki i dopisać, dla jakich a opisujesz każdy z nich.
4. Nierówności kwadratowe – metoda przedziałów krok po kroku
Nierówność kwadratowa ma zwykle postać: ax² + bx + c >reqless 0. Najpraktyczniejsza metoda na maturze to:
Przenieś wszystko na jedną stronę, po drugiej zostaw 0.
Rozwiąż równanie ax² + bx + c = 0.
Na osi liczbowej zaznacz pierwiastki równania (jeśli istnieją).
Sprawdź znak wyrażenia w poszczególnych przedziałach (tzw. metoda przedziałów).
Przykład 16:
Rozwiąż nierówność: x² – 5x + 6 (ge) 0.
Rozwiąż równanie: x² – 5x + 6 = 0.
To przykład z wcześniejszej części:
x1 = 2, x2 = 3.
Rozłóż na iloczyn:
x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).
Zaznacz 2 i 3 na osi liczbowej, dzieląc ją na trzy przedziały:
(-infty, 2), [2, 3], (3, +infty).
Sprawdź znak iloczynu w każdym przedziale. Najprościej wybrać po jednym „punkcie testowym”:
Dla x = 0 (przedział (-infty, 2)):
(0 – 2)(0 – 3) = (-2) · (-3) = 6 > 0.
Dla x = 2,5 (przedział (2, 3)):
(2,5 – 2)(2,5 – 3) ≈ (0,5) · (-0,5) < 0.
Dla x = 4 (przedział (3, +infty)):
(4 – 2)(4 – 3) = 2 · 1 = 2 > 0.
Szukamy miejsc, gdzie wyrażenie jest (ge) 0, czyli dodatnie lub równe zero:
na przedziałach, gdzie iloczyn > 0: (-infty, 2) i (3, +infty),
w punktach, gdzie iloczyn = 0: x = 2, x = 3.
Odpowiedź: x (in) (-infty, 2] (cup) [3, +infty).
4.2. Nierówności kwadratowe „w dół” i „w górę”
Współczynnik przy x² decyduje, czy parabola jest „uśmiechnięta” (a > 0) czy „smutna” (a < 0). To od razu podpowiada, gdzie szukać rozwiązań nierówności typu > 0 lub < 0.
Jeśli a > 0 (parabola otwarta w górę):
dla > 0 – rozwiązania są na zewnątrz między pierwiastkami,
Wygodnie pomnożyć obie strony przez -1 (pamiętając o zmianie znaku):
-x² + 2x + 3 (ge) 0
x² – 2x – 3 (le) 0.
Rozwiąż równanie: x² – 2x – 3 = 0.
Δ = (-2)² – 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16.
x1 = (frac{2 – 4}{2}) = -1,
x2 = (frac{2 + 4}{2}) = 3.
a = 1 > 0, a szukamy (le) 0, czyli „w środku” przedziału i z końcami:
x (in) [-1, 3].
4.3. Nierówności kwadratowe bez pierwiastków
Zdarza się, że delta jest ujemna. Wtedy parabola nie przecina osi OX i trzeba działać „z głowy”, korzystając z faktu, że funkcja ma zawsze ten sam znak.
Przykład 19:
Rozwiąż: 2x² + 4x + 5 > 0.
Delta:
Δ = 4² – 4 · 2 · 5 = 16 – 40 = -24 < 0.
a = 2 > 0, brak pierwiastków → parabola cała leży powyżej osi OX.
Wyrażenie 2x² + 4x + 5 jest zawsze dodatnie.
Nierówność > 0 jest spełniona dla wszystkich x:
x (in) (mathbb{R}).
Przykład 20:
Rozwiąż: -x² + x – 1 (ge) 0.
Delta:
Δ = 1² – 4 · (-1) · (-1) = 1 – 4 = -3 < 0.
a = -1 < 0, brak pierwiastków → parabola cała poniżej osi OX.
Wyrażenie -x² + x – 1 jest zawsze ujemne.
Nierówność (ge) 0 nie ma rozwiązań:
x – zbiór pusty.
4.4. Nierówności kwadratowe z parametrem
W wersji z parametrem najczęściej bada się warunki na deltę oraz wymaga, by nierówność była spełniona dla wszystkich x lub przynajmniej dla jednego rozwiązania.
Przykład 21:
Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których nierówność x² + ax + 4 > 0 jest spełniona dla każdego x ∈ (mathbb{R}).
Parabola ma być zawsze „nad osią”, więc:
a > 0 (ramiona do góry) – tu a = 1, więc już jest > 0,
brak miejsc zerowych, czyli Δ < 0, lub
jedno miejsce zerowe (delta = 0), ale w zadaniu jest > 0, więc nie może być „punktu styczności” z osią – tylko Delta < 0.
Delta tego równania:
Δ = a² – 4 · 1 · 4 = a² – 16.
Warunek:
a² – 16 < 0
a² < 16
|a| < 4
-4 < a < 4.
Odpowiedź: a (in) (-4, 4).
Przykład 22:
4.5. Nierówności z ilorazem wyrażeń kwadratowych
Na maturze bardzo często pojawia się układ: „iloraz dwóch trójmianów kwadratowych większy/mniejszy od zera”. Technika jest ta sama, co przy jednej funkcji kwadratowej, tylko dochodzi warunek z mianownika.
W zadaniach otwartych sensownie jest narysować sobie prostą liczbową i nad nią znaki (+/–) dla każdego przedziału. Łatwiej wtedy zobaczyć, gdzie zbiera się odpowiedź.
5.1. Trzy główne sposoby: podstawianie, przeciwny współczynnik, dodawanie
W zadaniach z układami równań zwykle wystarczą dwie podstawowe techniki. Dobrze jest umieć szybko zdecydować, której użyć – to oszczędza czas.
Metoda podstawiania – gdy łatwo wyznaczyć jedną zmienną z jednego równania.
Metoda przeciwnych współczynników (eliminacja) – gdy przy x lub y już są podobne liczby, które można łatwo „skasować” przez dodanie lub odjęcie równań.
Przykład 24 (podstawianie):
Rozwiąż układ równań:
(left{begin{array}{l}
x + y = 5
2x – y = 1
end{array}right.)
5.2. Układy równań – brak rozwiązań i nieskończenie wiele rozwiązań
Czasem standardowe przekształcenia prowadzą do równania sprzecznego albo do tożsamości. W zadaniach zamkniętych często trzeba rozpoznać, który przypadek występuje.
To dokładnie drugie równanie. Układ sprowadza się do jednego równania z dwiema niewiadomymi:
x – 2y = 4.
Każda para (x, y) spełniająca to równanie jest rozwiązaniem:
np. y = 0 ⇒ x = 4,
y = 1 ⇒ x = 6,
itd. – nieskończenie wiele rozwiązań.
5.3. Układy z parametrem – kiedy rozwiązanie jest jedno?
W wersji parametrycznej najczęściej pytanie brzmi: dla jakich wartości parametru układ ma jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele albo nie ma rozwiązań.
Przykład 28:
Rozważ układ równań:
(left{begin{array}{l}
x + ay = 2
2x + 4y = 3
end{array}right.)
Wyznacz wszystkie wartości a, dla których układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Chodzi o to, by równania nie były ani sprzeczne, ani równoważne. Najpierw sprawdź, kiedy są „prawie proporcjonalne”.
Porównaj współczynniki przy x i y:
jeśli pomnożysz pierwsze równanie przez 2, dostajesz:
2x + 2ay = 4.
Porównujesz z drugim równaniem:
2x + 4y = 3.
Żeby równania były równoważne, musiałoby być:
2a = 4 oraz 4 = 3 – co jest niemożliwe.
Czyli układ nigdy nie ma nieskończenie wielu rozwiązań.
Żeby układ był sprzeczny „na prostości”, równania muszą opisywać proste równoległe:
współczynniki przy x i y w tym samym stosunku, ale wyraz wolny w innym.
Porównaj:
(frac{1}{2} = frac{a}{4}) ⇒ 4 = 2a ⇒ a = 2.
Dla a = 2 zapis układu:
x + 2y = 2
2x + 4y = 3.
Pomnóż pierwsze równanie przez 2:
2x + 4y = 4,
zestaw z drugim: 2x + 4y = 3.
Sprzeczność, więc dla a = 2 brak rozwiązań.
Z tego wynika, że dla a ≠ 2 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Odpowiedź: a (in) (mathbb{R} setminus {2}).
6. Równania i nierówności z wartością bezwzględną
6.1. Wartość bezwzględna – równania liniowe
Wartość bezwzględna to „odległość od zera”. Równanie typu |x – a| = b zamienia się na dwie opcje: x – a = b lub x – a = -b, przy założeniu, że b ≥ 0.
Przykład 29:
Rozwiąż równanie: |x – 3| = 5.
Rozpisz na dwa przypadki:
x – 3 = 5 lub x – 3 = -5.
Rozwiąż oba:
x = 8 lub x = -2.
Odpowiedź: x = -2 lub x = 8.
Przykład 30 (brak rozwiązań):
Rozwiąż: |2x + 1| = -3.
Lewa strona jest zawsze ≥ 0, prawa strona ujemna.
Sprzeczność, brak rozwiązań.
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Jak krok po kroku rozwiązać proste równanie liniowe na maturze?
Aby rozwiązać równanie liniowe typu ax + b = c, najpierw uporządkuj obie strony: usuń nawiasy, jeśli występują, i zredukuj wyrazy podobne. Następnie przenieś wszystkie wyrażenia z x na jedną stronę równania, a liczby na drugą stronę, pamiętając o zmianie znaków.
Po uproszczeniu otrzymasz równanie postaci ax = d. Wtedy podziel obie strony przez współczynnik przy x (liczbę a, która musi być różna od zera). Na końcu warto zrobić sprawdzenie, podstawiając otrzymany wynik do początkowego równania.
Skąd mam wiedzieć, że równanie nie ma rozwiązań albo ma nieskończenie wiele rozwiązań?
Podczas przekształcania równania liniowego może się zdarzyć, że wszystkie wyrażenia z x się „skasują”. Wtedy zostaje samo równanie liczbowe, np. 4 = -1 lub 0 = 0. Jeśli otrzymasz sprzeczność, czyli równanie typu 4 = -1, oznacza to, że równanie nie ma żadnych rozwiązań.
Jeżeli po uproszczeniu wyjdzie tożsamość, np. 0 = 0, to znaczy, że równanie jest prawdziwe dla każdego x (ma nieskończenie wiele rozwiązań). Na maturze często pojawiają się tego typu „podchwytliwe” równania, dlatego zawsze doprowadzaj je do możliwie najprostszej postaci.
Jak radzić sobie z równaniami z ułamkami i nawiasami na maturze z matematyki?
Przy równaniach z nawiasami najpierw usuń nawiasy, korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania, np. 2(3x − 1) = 6x − 2, a −(x + 5) = −x − 5. Dopiero potem porządkuj równanie: zbierz wyrażenia z x po jednej stronie, liczby po drugiej i uprość.
Przy ułamkach kluczowe jest pozbycie się mianowników. Zazwyczaj warto pomnożyć obie strony równania przez najmniejszy wspólny mianownik, np. w równaniu (2x − 3)/3 = (x + 1)/2 jest nim 6. Pamiętaj, aby przy mnożeniu całych ułamków wprowadzać nawiasy wokół liczników, np. 6 · (x − 2)/3 = 2(x − 2), a nie 2x − 2.
Kiedy lepiej użyć delty, a kiedy wzorów skróconego mnożenia w równaniu kwadratowym?
Metoda z deltą działa zawsze, ale bywa czasochłonna. Warto z niej korzystać, gdy współczynniki są „brzydkie” (np. nie widać łatwo par liczb o danym iloczynie) albo gdy zadanie wprost prosi o obliczenie delty. Obliczasz wtedy Δ = b² − 4ac i na tej podstawie ustalasz liczbę rozwiązań.
Wzory skróconego mnożenia i rozkład na iloczyn opłaca się stosować, gdy:
wyraz wolny (c) jest „ładną” liczbą i łatwo znaleźć pary liczb o iloczynie c i sumie b,
widzisz w ostatnim wyrazie kwadrat (np. 4, 9, 16, 25) i współczynnik przy x pasuje do wzoru (x ± a)²,
da się od razu zapisać równanie np. jako (x − 3)² = 0 czy x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Stosowanie wzorów skróconego mnożenia często skraca rachunki i zmniejsza ryzyko pomyłki.
Jak rozwiązywać równania liniowe lub kwadratowe z parametrem na maturze rozszerzonej?
Przy równaniach z parametrem najpierw przekształć je do jak najprostszej postaci, tak jak zwykłe równanie. Następnie zastanów się, których wartości parametru nie wolno podstawiać (np. gdy dzielisz przez wyrażenie z parametrem lub masz je w mianowniku). Zazwyczaj trzeba rozpatrzyć osobno przypadki: np. a = 1/2 i a ≠ 1/2.
Dla równań kwadratowych z parametrem kluczowa jest analiza delty:
Δ > 0 – dwa różne rozwiązania rzeczywiste,
Δ = 0 – jedno rozwiązanie podwójne,
Δ < 0 – brak rozwiązań rzeczywistych.
Jeśli zadanie wymaga, aby rozwiązania spełniały dodatkowe warunki (np. były dodatnie), trzeba po wyznaczeniu postaci rozwiązań nałożyć na nie odpowiednie nierówności i rozwiązać je względem parametru.
Jakie typowe błędy w równaniach i nierównościach pojawiają się na maturze z matematyki?
Najczęstsze błędy to:
niepoprawne usuwanie nawiasów (szczególnie przy minusie przed nawiasem),
błędy przy wspólnym mianowniku i mnożeniu ułamków bez nawiasów,
dzielenie obu stron nierówności przez liczbę ujemną bez zmiany znaku nierówności,
pomijanie „szczególnych” wartości parametru, dla których np. współczynnik przy x jest zerem.
Aby ich uniknąć, zapisuj pośrednie kroki, jasno oznaczaj przypadki (np. a = 0, a ≠ 0) i zawsze na końcu sprawdzaj, czy otrzymane rozwiązania spełniają warunki zadania.
Wnioski w skrócie
Równania liniowe są fundamentem zadań maturalnych i pojawiają się zarówno wprost, jak i ukryte w zadaniach tekstowych, z funkcji czy geometrii analitycznej.
Standardowe rozwiązywanie równania liniowego polega na usuwaniu nawiasów, porządkowaniu wyrazów z niewiadomą i liczb, upraszczaniu oraz dzieleniu przez współczynnik przy x, z obowiązkowym sprawdzeniem wyniku.
Po uproszczeniu równania liniowego można otrzymać sprzeczność (typowo 0 = 5 – brak rozwiązań) lub tożsamość (0 = 0 – nieskończenie wiele rozwiązań), co jest częstym motywem w zadaniach maturalnych.
W równaniach z nawiasami i ułamkami kluczowe jest systematyczne usuwanie nawiasów, sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika lub mnożenie przez wspólny mianownik oraz staranne stosowanie nawiasów przy mnożeniu liczników.
W równaniach z parametrem trzeba osobno rozpatrywać przypadki, w których dzielimy przez wyrażenie z parametrem, i te, w których jest ono równe zeru, co decyduje o liczbie rozwiązań (jedno, brak, czasem nieskończenie wiele).
Równania kwadratowe można rozwiązywać m.in. metodą delty, przy czym warto znać interpretację wartości delty: dodatnia – dwa pierwiastki, zero – jeden pierwiastek podwójny, ujemna – brak pierwiastków rzeczywistych.
W wielu zadaniach szybciej i bezpieczniej niż przez deltę jest rozłożyć trójmian kwadratowy na iloczyn za pomocą wzorów skróconego mnożenia, zwłaszcza gdy wyraz wolny i współczynniki są „ładnymi” liczbami.
