Wektory w geometrii – szybkie przypomnienie po ludzku
Czym jest wektor w zadaniach maturalnych?
Wektor w geometrii to uporządkowana para lub trójka liczb, która opisuje przesunięcie: w którą stronę i o ile. W zadaniach maturalnych najczęściej pracuje się:
na płaszczyźnie – wtedy zapisujesz wektory w postaci (vec{u} = (u_x, u_y)),
w przestrzeni – wtedy dochodzi współrzędna (z): (vec{u} = (u_x, u_y, u_z)).
Wektor nie ma konkretnego „położenia” – może być zaczepiony w dowolnym punkcie. Dlatego w zadaniach często pojawiają się oznaczenia typu (vec{AB}) – to wektor przesunięcia od punktu A do punktu B. Jeśli współrzędne punktów to (A(x_A, y_A)), (B(x_B, y_B)), to:
(vec{AB} = (x_B – x_A,; y_B – y_A)).
Wektory a klasyczna geometria – po co w ogóle to wszystko?
Wektory pozwalają szybko rozwiązywać zadania geometryczne, które klasycznie wymagałyby długich dowodów z twierdzeniami Euklidesa. Na maturze wektory szczególnie ułatwiają:
sprawdzanie prostopadłości i równoległości prostych oraz odcinków,
liczenie długości odcinków (np. przekątnych),
wyznaczanie kątów między prostymi lub bokami figur,
obliczanie rzutów i odległości punktu od prostej (poziom rozszerzony).
W centrum większości tych zastosowań stoi iloczyn skalarny. To właśnie on – w połączeniu z długością wektora – daje dostęp do długości, kątów i prostopadłości w jednym prostym wzorze.
Podstawowe działania na wektorach
Bez kilku prostych działań na wektorach trudno przejść dalej. Trzeba płynnie korzystać z:
dodawania: ((a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)),
odejmowania: ((a, b) – (c, d) = (a – c, b – d)),
mnożenia przez liczbę: (k cdot (a, b) = (ka, kb)),
długości wektora: (|vec{u}| = sqrt{u_x^2 + u_y^2}).
Te operacje są proste, ale na maturze błąd rachunkowy w tym miejscu potrafi zepsuć cały przykład z iloczynem skalarnym. Najlepiej od razu wyrobić sobie nawyk zapisywania pośrednich wyników, a nie liczenia wszystkiego w pamięci.
Definicja iloczynu skalarnego i jego własności
Iloczyn skalarny – definicja współrzędnościowa
Iloczyn skalarny (oznaczany często jako (vec{u} cdot vec{v})) to działanie, które dwóm wektorom przyporządkowuje liczbę. Jeśli:
Dostajemy zwykłą liczbę rzeczywistą. Jeśli ta liczba wynosi zero, wektory są prostopadłe (o tym za moment). Jeśli jest dodatnia – kąt między wektorami jest ostry, jeśli ujemna – rozwarty.
Iloczyn skalarny – definicja geometryczna
Iloczyn skalarny ma też bardzo ważną interpretację geometryczną:
(vec{u} cdot vec{v} = |vec{u}| cdot |vec{v}| cdot cos alpha),
gdzie (alpha) to kąt między wektorami (vec{u}) i (vec{v}) (w przedziale (0^circ)–(180^circ)).
Z tego jednego wzoru wynika większość przydatnych wniosków:
wektory są prostopadłe, gdy (cos alpha = 0), czyli gdy (vec{u} cdot vec{v} = 0),
wektory są równoległe i zgodnie zwrócone, gdy (alpha = 0^circ),
wektory są równoległe i przeciwnie zwrócone, gdy (alpha = 180^circ); wtedy iloczyn skalarny jest ujemny.
W zadaniach maturalnych często stosuje się oba podejścia naraz: z definicji współrzędnościowej liczy się (vec{u} cdot vec{v}), a z definicji geometrycznej – wnioskuje o kącie lub długości.
Najważniejsze własności iloczynu skalarnego
Iloczyn skalarny ma kilka kluczowych własności, które pozwalają upraszczać obliczenia i przekształcać wzory:
mnożenie przez skalar: ((k vec{u}) cdot vec{v} = k (vec{u} cdot vec{v})),
związek z długością: (vec{u} cdot vec{u} = |vec{u}|^2).
Ta ostatnia własność jest wyjątkowo praktyczna: iloczyn skalarny wektora przez samego siebie daje kwadrat jego długości. W zadaniach często w ogóle nie trzeba wyciągać pierwiastka – wystarczy pracować na kwadratach długości.
Przykład prostego obliczenia
Dla wektorów (vec{u} = (3, -2)), (vec{v} = (1, 4)):
Otrzymany wynik jest ujemny, więc kąt między (vec{u}) a (vec{v}) jest rozwartokątny. Nie trzeba znać dokładnej wartości kąta, aby określić typ trójkąta czy charakter wzajemnego położenia boków.
Długość wektora, kąt między wektorami i cosinus – praktyka maturalna
Jak szybko liczyć długość wektora?
Długość wektora na płaszczyźnie to wersja wektorowa znanego z geometrii „twierdzenia Pitagorasa”. Jeśli (vec{u} = (a, b)), to:
(|vec{u}| = sqrt{a^2 + b^2}).
Często wygodniej jest operować na:
(|vec{u}|^2 = a^2 + b^2),
bo nie trzeba ciągle pisać pierwiastków. Na przykład, zamiast sprawdzać, czy dwa wektory mają tę samą długość, porównuje się ich kwadraty długości.
Kąt między wektorami – wzór i interpretacja
Jeśli znamy współrzędne wektorów (vec{u}) i (vec{v}), to z definicji iloczynu skalarnego mamy:
jeśli trzeba – z tablic odczytujemy kąt na podstawie wartości cosinusa.
Na maturze częściej jednak wystarcza odpowiedź typu: „kąt jest ostry/prostokątny/rozwartokątny”, więc często już sam znak iloczynu skalarnego wystarcza do wnioskowania.
Przykład: obliczanie kąta między wektorami
Dane są wektory: (vec{u} = (2, 1)), (vec{v} = (1, -2)). Oblicz kąt między nimi.
Jeśli iloczyn skalarny jest równy 0, to (cos alpha = 0), więc (alpha = 90^circ). W takim zadaniu nie trzeba nawet liczyć długości wektorów – prostopadłość wystarczy do określenia kąta.
Trójkąt ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny a wektory
W zadaniach maturalnych często trzeba rozstrzygnąć, jaki jest rodzaj trójkąta: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny. Wektory i iloczyn skalarny dają na to bardzo szybki sposób.
Załóżmy, że mamy trójkąt (ABC). Dla dowolnego wierzchołka, np. (A), bierzemy wektory:
(vec{AB}),
(vec{AC}).
Kąt przy wierzchołku (A) ma następujące własności:
jeśli (vec{AB} cdot vec{AC} > 0) – kąt ostry,
jeśli (vec{AB} cdot vec{AC} = 0) – kąt prosty,
jeśli (vec{AB} cdot vec{AC} < 0) – kąt rozwarty.
Analogicznie postępujemy dla innych wierzchołków, jeśli trzeba. Zamiast bawić się w twierdzenie odwrotne do Pitagorasa dla wszystkich boków, można wszystko rozstrzygnąć w jednym kroku z użyciem wektorów.
Prostopadłość, równoległość i zadania na kąty
Proste prostopadłe – kryterium wektorowe
Jeśli mamy prostą (p) o wektorze kierunkowym (vec{u}) i prostą (q) o wektorze kierunkowym (vec{v}), to:
proste są prostopadłe, gdy (vec{u} cdot vec{v} = 0),
proste są równoległe, gdy (vec{u}) i (vec{v}) są liniowo zależne (w praktyce – jeden jest wielokrotnością drugiego).
Na maturze proste podaje się często w postaci kierunkowej lub ogólnej. Wektor kierunkowy prostej:
z równania kierunkowego (y = ax + b) to (vec{u} = (1, a)),
z równania ogólnego (Ax + By + C = 0) to (vec{u} = (B, -A)).
Mając dwa takie wektory kierunkowe, wystarczy policzyć iloczyn skalarny, by rozpoznać prostopadłość.
Wektory są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego:
(vec{u} parallel vec{v} iff exists k in mathbb{R}:; vec{u} = k vec{v}).
Przykład: równoległość prostych z wykorzystaniem wektorów
Sprawdź, czy proste:
(k_1: 3x – 2y + 5 = 0),
(k_2: 6x – 4y – 1 = 0)
są równoległe.
Dla prostej (k_1) równanie ogólne ma postać (Ax + By + C = 0) z (A = 3), (B = -2). Wektor kierunkowy:
(vec{u} = (B, -A) = (-2, -3)).
Dla prostej (k_2): (A = 6), (B = -4), więc:
(vec{v} = (B, -A) = (-4, -6)).
Widać, że (vec{v} = 2vec{u}), zatem:
(vec{v} parallel vec{u}), a więc proste (k_1) i (k_2) są równoległe.
Źródło: Pexels | Autor: Yan Krukau
Iloczyn skalarny w zadaniach z geometrii analitycznej
Środek odcinka, wektory i własności trójkątów
Przy zadaniach o środkach boków i punktach specjalnych trójkąta wygodnie jest przejść na język wektorów. Jeśli znamy współrzędne punktów (A(x_A, y_A)) i (B(x_B, y_B)), to:
wektor (vec{AB} = (x_B – x_A,; y_B – y_A)),
środek odcinka (AB): (Sleft(dfrac{x_A + x_B}{2},; dfrac{y_A + y_B}{2}right)).
Po wyznaczeniu środka łatwo zbudować kolejne wektory, np. (vec{AS}), (vec{CS}), i korzystać z iloczynu skalarnego do badania kątów lub długości.
Przykład: sprawdzenie, czy trójkąt jest prostokątny
Dane są punkty: (A(1, 2)), (B(5, 2)), (C(1, -1)). Uzasadnij, że trójkąt (ABC) jest prostokątny.
Wektory (vec{AB}) i (vec{AC}) są prostopadłe, więc kąt przy wierzchołku (A) jest prosty. Trójkąt (ABC) jest prostokątny.
Wektor prostopadły – jak go szybko skonstruować?
Na płaszczyźnie, jeśli mamy wektor (vec{u} = (a, b)), to prostym wektorem do niego prostopadłym jest (vec{n} = (-b, a)) lub (vec{n} = (b, -a)). Sprawdzenie jest natychmiastowe:
(vec{u} cdot vec{n} = a(-b) + b a = -ab + ab = 0).
Ten trik często ratuje w zadaniach, w których trzeba:
napisać równanie prostej prostopadłej do danej,
wyznaczyć wysokość trójkąta w geometrii analitycznej,
znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt i prostopadłej do boku figury.
Przykład: wysokość trójkąta jako prosta prostopadła
Dany jest trójkąt o wierzchołkach (A(0, 1)), (B(4, 1)), (C(2, 4)). Wyznacz równanie wysokości opuszczonej z wierzchołka (C) na bok (AB).
Najpierw wektor kierunkowy boku (AB):
(vec{AB} = (4 – 0,; 1 – 1) = (4, 0)).
Wektor prostopadły do (vec{AB}) może być np. (vec{n} = (0, 4)) lub ((0, 1)). Wysokość z punktu (C) jest więc pionową prostą przechodzącą przez (C(2, 4)), czyli po prostu:
(x = 2).
Zamiast szukać współczynnika kierunkowego „na oko”, wystarczy użyć faktu, że wektor kierunkowy wysokości musi być prostopadły do wektora kierunkowego boku.
Iloczyn skalarny a równania okręgów i odległości
Odległość punktu od początku układu i od innego punktu
Jeśli punkt (P(x, y)) traktujemy jako wektor (vec{OP} = (x, y)), to jego długość to właśnie odległość od początku układu:
(|vec{OP}| = sqrt{x^2 + y^2}).
Odległość między punktami (A(x_A, y_A)) i (B(x_B, y_B)) to długość wektora (vec{AB}):
Okrąg jako zbiór punktów o stałej długości wektora
Równanie okręgu o środku (S(p, q)) i promieniu (r) można wyprowadzić czysto wektorowo. Punkt (P(x, y)) należy do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość (|vec{SP}|) jest równa (r):
(|vec{SP}|^2 = r^2).
A ponieważ (vec{SP} = (x – p,; y – q)), to:
((x – p)^2 + (y – q)^2 = r^2).
W wielu zadaniach wystarczy zapisać warunek (|vec{SP}|^2 = r^2) i wstawić do niego współrzędne punktu – jest to szybsze i mniej podatne na błąd niż ciągłe sięganie po „gotowe” wzory z pamięci.
Przykład: sprawdzenie, czy punkt leży na okręgu
Dany jest okrąg o środku (S(2, -1)) i promieniu (r = 5). Sprawdź, czy punkt (P(6, 3)) leży na tym okręgu.
Liczymy wektor (vec{SP} = (6 – 2,; 3 – (-1)) = (4, 4)). Jego kwadrat długości:
Natomiast (r^2 = 25). Skoro (|vec{SP}|^2 neq r^2), to punkt (P) nie leży na okręgu.
Iloczyn skalarny w zadaniach dowodowych
Dowodzenie prostopadłości i równoległości w trójkątach
W zadaniach typu „wykaż, że…” często wygodniej jest wybrać układ współrzędnych, przypisać wierzchołkom trójkąta odpowiednie punkty, a potem przejść do wektorów.
Strategia jest zwykle taka:
Umieszczamy jedną z figur w „sprytny” sposób – np. jeden wierzchołek w punkcie (O(0, 0)), a inny na osi (x).
Wyznaczamy współrzędne kluczowych punktów (środki boków, punkty przecięcia itp.).
Tworzymy wektory, np. (vec{u}), (vec{v}), i liczymy (vec{u} cdot vec{v}).
Wnioskujemy o kątach na podstawie znaku lub zera iloczynu skalarnego.
Niech trójkąt (ABC) będzie zadany punktami: (A(0, 0)), (B(4, 0)), (C(2, 3)). Punktem (M) oznaczono środek boku (AB). Uzasadnij, że odcinek (CM) jest prostopadły do boku (AB)?
Zatem (vec{AB} perp vec{CM}), czyli wysokość poprowadzona z wierzchołka (C) w tym konkretnym trójkącie przechodzi przez środek podstawy (AB). W tym przypadku trójkąt jest równoramienny, ale wniosek opiera się wyłącznie na rachunku wektorowym.
Iloczyn skalarny w przestrzeni – zadania maturalne 3D
Wektory w przestrzeni i prosty schemat liczenia
W przestrzeni (mathbb{R}^3) wektory zapisujemy jako (vec{u} = (u_x, u_y, u_z)), (vec{v} = (v_x, v_y, v_z)), a iloczyn skalarny:
W praktyce, gdy trzeba określić kąt, prostopadłość lub obliczyć odległość w bryłach (np. w sześcianie, prostopadłościanie), ten zapis jest w zupełności wystarczający.
Przykład: kąt między przekątnymi ścian sześcianu
Rozważ sześcian o krawędzi długości (a). Wybieramy układ współrzędnych tak, aby jeden wierzchołek był w początku układu, a krawędzie leżały na osiach:
(A(0, 0, 0)),
(B(a, 0, 0)),
(D(0, a, 0)),
(E(0, 0, a)).
Kąt między przekątną ściany dolnej (AC) a przekątną ściany bocznej (AE) można policzyć wektorowo. Najpierw współrzędne potrzebnych punktów:
(C(a, a, 0)) – bo to suma wektorów (vec{AB}) i (vec{AD}),
(E(0, 0, a)) – jak wyżej.
Wektory:
(vec{AC} = (a, a, 0)),
(vec{AE} = (0, 0, a)).
Iloczyn skalarny:
(vec{AC} cdot vec{AE} = a cdot 0 + a cdot 0 + 0 cdot a = 0).
Zatem przekątne tych ścian są prostopadłe.
Przykład: kąt między przekątną sześcianu a krawędzią
W tym samym sześcianie oblicz kąt między przekątną bryły (AG) a krawędzią (AB).
Wierzchołek (G) ma współrzędne ((a, a, a)). Wektory:
(vec{AG} = (a, a, a)),
(vec{AB} = (a, 0, 0)).
Iloczyn skalarny:
(vec{AG} cdot vec{AB} = a cdot a + a cdot 0 + a cdot 0 = a^2).
Kąt (alpha) to kąt, którego cosinus wynosi (dfrac{1}{sqrt{3}}). Na maturze zwykle wystarczy pozostawić odpowiedź w tej postaci lub ew. posłużyć się przybliżeniem z tablic.
Źródło: Pexels | Autor: Karola G
Typowe pułapki w zadaniach z iloczynem skalarnym
Mieszanie punktów z wektorami
Niewłaściwe użycie wzoru na cosinus kąta
Iloczyn skalarny łączy wektory z trygonometrią poprzez wzór:
(vec{u} cdot vec{v} = |vec{u}| cdot |vec{v}| cdot cos alpha),
gdzie (alpha) to kąt między wektorami, a nie dowolny kąt z zadania. Błędy pojawiają się zwykle wtedy, gdy:
podstawia się długości odcinków, które w ogóle nie są długościami rozpatrywanych wektorów,
myli się kąt wewnętrzny w trójkącie z kątem między dwoma dowolnymi wektorami na rysunku,
zapomina się, że cosinus może być ujemny (kąt rozwarty) i wyciąga się fałszywy wniosek o wartości kąta.
Bezpieczny schemat:
Najpierw konkretnie definiujemy wektory, np. (vec{u} = vec{AB}), (vec{v} = vec{AC}).
Liczymy ich współrzędne i iloczyn skalarny z definicji.
Osobno liczymy długości (|vec{u}|), (|vec{v}|).
Na końcu układamy równanie: (cos alpha = dfrac{vec{u} cdot vec{v}}{|vec{u}| cdot |vec{v}|}).
Znaki współrzędnych a znak iloczynu skalarnego
Przy liczeniu „na szybko w głowie” łatwo zgubić minus. Warto mieć kilka prostych obserwacji:
jeśli oba wektory „idą mniej więcej w tym samym kierunku”, to zwykle (vec{u} cdot vec{v} > 0) (kąt ostry),
jeśli są „prawie naprzeciwko siebie”, to najczęściej (vec{u} cdot vec{v} < 0) (kąt rozwarty),
jeżeli jeden z wektorów ma współrzędne „podobne”, a drugi z przeciwnymi znakami, to iloczyn skalarny zwykle wyjdzie ujemny.
Przy sprawdzaniu rachunków dobrze jest szybko „zobaczyć” sytuację: kąt na rysunku wygląda na ostry, a wyszedł ujemny iloczyn skalarny? Gdzieś musiał uciec minus.
Wybór zbyt skomplikowanego układu współrzędnych
W zadaniach dowodowych, zamiast umiaru w ustawieniu układu, często bierze się „losowe” współrzędne: (A(3, -5)), (B(7, 4)), (C(-2, 1)). Rachunki puchną, a sedno problemu ginie.
Bardziej sprytny wybór to:
jeden wierzchołek w (O(0, 0)),
drugi na osi (x), np. (B(b, 0)),
trzeci w wygodnym punkcie, np. (C(c_x, c_y)) z prostymi liczbami.
W wielu dowodach można przyjąć długość boku jako (1) lub (2), a nie tajemnicze (asqrt{3}). Same wnioski geometryczne (prostopadłość, równość kątów) nie zależą od skali.
Zadania maturalne z iloczynem skalarnym – typowe schematy
Wyznaczanie równań prostych z użyciem wektorów
W geometrii analitycznej prosta jest zwykle zadana:
przez punkt i wektor kierunkowy, albo
przez warunek prostopadłości/równoległości do innej prostej.
Wektorowo można to zorganizować w jednym, powtarzalnym algorytmie:
Spisujemy wektor kierunkowy danej prostej, np. (vec{u} = (a, b)).
Dla prostej równoległej wektor kierunkowy jest taki sam (lub proporcjonalny).
Dla prostej prostopadłej bierzemy np. (vec{v} = (-b, a)).
Jeśli prosta ma przechodzić przez punkt (P(x_0, y_0)), zapisujemy:
[
vec{PP’} = tvec{v}, quad P'(x, y) in l.
]
To daje równanie parametryczne lub kierunkowe prostej.
Z takiego zapisu łatwo przejść do postaci ogólnej lub kierunkowej, w zależności od tego, czego oczekuje polecenie.
Przykład: prosta równoległa i prostopadła przez zadany punkt
Dana jest prosta (l) o równaniu (2x – y + 3 = 0). Wyznacz równania prostych:
(l_1) – równoległej do (l) przechodzącej przez punkt (A(1, 2)),
(l_2) – prostopadłej do (l) przechodzącej przez punkt (A(1, 2)).
Najpierw wektor normalny (prostopadły) do (l): (vec{n} = (2, -1)). Wektor kierunkowy (vec{u}) musi być prostopadły do (vec{n}), więc np. (vec{u} = (1, 2)), bo:
Prosta równoległa (l_1) ma ten sam wektor kierunkowy (vec{u}), więc możemy zapisać równanie kierunkowe:
(y – 2 = 2(x – 1)), czyli po uporządkowaniu: (y = 2x).
Dla prostej prostopadłej (l_2) wektor kierunkowy jest równoległy do (vec{n}), więc:
(y – 2 = -1(x – 1)), czyli (y = -x + 3).
Cały rachunek sprowadził się do znalezienia dwóch prostych wektorów kierunkowych.
Wyznaczanie kątów w trójkątach i wielokątach
Standardowym motywem jest polecenie: „oblicz miarę kąta między bokami figury”. Zamiast korzystać z klasycznych wzorów na długości boków i potem z twierdzenia cosinusów, można przejść prosto do iloczynu skalarnego.
Ogólny przepis:
Wybieramy wierzchołek, w którym mamy kąt, np. wierzchołek (B).
Tworzymy dwa wektory wychodzące z tego punktu: (vec{BA}), (vec{BC}).
Dany jest równoległobok o wierzchołkach (A(0, 0)), (B(4, 1)), (D(1, 3)). Punkt (C) jest czwartym wierzchołkiem równoległoboku. Oblicz miarę kąta między przekątnymi (AC) i (BD).
Najpierw znajdujemy punkt (C). Wektorowo:
(vec{AD} = (1, 3)), (vec{AB} = (4, 1)). W równoległoboku:
Kąt między przekątnymi jest rozwarty, bo cosinus jest ujemny.
Iloczyn skalarny w zadaniach z parametrem
Warunek prostopadłości lub ostrości kąta jako równanie
Jeśli współrzędne punktów zależą od parametru, często trzeba ustalić, dla jakich wartości tego parametru kąt jest prosty, ostry albo rozwarty. Iloczyn skalarny zamienia to w prosty warunek algebraiczny.
Zadanie sprowadziliśmy do prostej nierówności liniowej.
Iloczyn skalarny a zadania tekstowe z geometrii
Ruch po płaszczyźnie jako suma wektorów
W zadaniach opisowych (np. robot, który wykonuje serię ruchów wzdłuż osi, łódka płynąca z prądem rzeki itp.) wygodnie jest traktować każdy krok jako wektor. Iloczyn skalarny pozwala wtedy np. obliczyć:
rzut drogi na jakiś kierunek,
pracę siły działającej wzdłuż jednego kierunku przy ruchu w innym.
Jeśli ciało porusza się wektorem przemieszczenia (vec{s}), a siła działa jako wektor (vec{F}), to wykonana praca ma postać:
(W = vec{F} cdot vec{s} = |vec{F}| |vec{s}| cos alpha).
W praktyce maturalnej rzadko pojawia się formalna fizyka, ale sama interpretacja „rzutu na kierunek” bywa pomocna, choćby przy obliczaniu składowych prędkości.
Prosty przykład z życia codziennego
Wyobraź sobie, że jedziesz rowerem po ścieżce biegnącej z południa na północ (oś (y)), z prędkością (vec{v} = (0, 5)) km/h, a lekki wiatr wieje ze wschodu na zachód, z prędkością (vec{w} = (-3, 0)). Dla obserwatora stojącego na ziemi twoja prędkość względem powietrza to (vec{v} – vec{w}), ale „opór powietrza” w kierunku jazdy zależy od rzutu wektora wiatru na kierunek ruchu roweru.
Taki rzut wprost wyliczamy z iloczynu skalarnego:
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Co to jest iloczyn skalarny wektorów i jak brzmi jego wzór?
Iloczyn skalarny to działanie, które dwóm wektorom przyporządkowuje liczbę. Na płaszczyźnie, dla wektorów (vec{u} = (u_x, u_y)) i (vec{v} = (v_x, v_y)), definiujemy go wzorem:
(vec{u} cdot vec{v} = u_x v_x + u_y v_y).
W przestrzeni, dla (vec{u} = (u_x, u_y, u_z)) i (vec{v} = (v_x, v_y, v_z)), wzór ma postać:
(vec{u} cdot vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z).
Jak obliczyć kąt między wektorami na maturze z matematyki?
Aby obliczyć kąt między wektorami (vec{u}) i (vec{v}), korzystasz ze wzoru:
(cos alpha = dfrac{vec{u} cdot vec{v}}{|vec{u}| cdot |vec{v}|}), gdzie (alpha) to kąt między wektorami.
W praktyce:
liczysz iloczyn skalarny (vec{u} cdot vec{v}),
liczysz długości (|vec{u}|) i (|vec{v}|),
podstawiasz do wzoru na cosinus i z tablic odczytujesz kąt, jeśli jest potrzebny.
Często na maturze wystarczy określić, czy kąt jest ostry, prosty czy rozwarty – wtedy wystarcza sam znak iloczynu skalarnego.
Jak sprawdzić, czy dwa wektory są prostopadłe lub równoległe?
Dwa wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero:
(vec{u} cdot vec{v} = 0). To najszybsze kryterium prostopadłości w zadaniach maturalnych.
Wektory są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego, czyli istnieje liczba (k) taka, że (vec{v} = kvec{u}). W praktyce oznacza to proporcjonalne współrzędne. Dodatni (k) oznacza ten sam zwrot, ujemny – zwrot przeciwny.
Jak obliczyć długość wektora w zadaniach maturalnych?
Długość wektora (vec{u} = (a, b)) na płaszczyźnie liczymy ze wzoru:
(|vec{u}| = sqrt{a^2 + b^2}). Jest to bezpośrednie zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.
Często wygodnie jest operować na kwadracie długości:
(|vec{u}|^2 = a^2 + b^2),
dzięki czemu unika się zapisywania pierwiastków, np. przy porównywaniu długości dwóch wektorów.
Jak za pomocą iloczynu skalarnego określić rodzaj trójkąta (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny)?
Dla trójkąta (ABC) wybierasz wierzchołek, np. (A), i rozpatrujesz wektory (vec{AB}) i (vec{AC}). Następnie liczysz iloczyn skalarny (vec{AB} cdot vec{AC}).
Obowiązują zasady:
(vec{AB} cdot vec{AC} > 0) – kąt przy (A) jest ostry,
(vec{AB} cdot vec{AC} = 0) – kąt przy (A) jest prosty,
(vec{AB} cdot vec{AC} < 0) – kąt przy (A) jest rozwarty.
W analogiczny sposób możesz badać inne wierzchołki, jeśli zadanie tego wymaga.
Jak z wektorów punktów A i B wyznaczyć wektor (vec{AB})?
Jeśli masz punkty (A(x_A, y_A)) i (B(x_B, y_B)), to wektor (vec{AB}) ma współrzędne:
(vec{AB} = (x_B – x_A,; y_B – y_A)).
W przestrzeni trójwymiarowej, dla punktów (A(x_A, y_A, z_A)) i (B(x_B, y_B, z_B)), otrzymujemy:
(vec{AB} = (x_B – x_A,; y_B – y_A,; z_B – z_A)).
Ten sposób wyznaczania (vec{AB}) jest podstawą do dalszych obliczeń z iloczynem skalarnym.
Jakie własności iloczynu skalarnego są najważniejsze na maturze?
Na maturze najczęściej wykorzystuje się kilka prostych własności iloczynu skalarnego:
mnożenie przez liczbę: ((kvec{u}) cdot vec{v} = k(vec{u} cdot vec{v})),
związek z długością: (vec{u} cdot vec{u} = |vec{u}|^2).
Dzięki tym własnościom możesz upraszczać wyrażenia wektorowe, liczyć długości i kąty bez rozwlekłych rachunków geometrycznych.
Najważniejsze punkty
Wektor w geometrii maturalnej opisuje przesunięcie (kierunek i długość) jako parę lub trójkę liczb, a jego położenie w przestrzeni nie ma znaczenia – liczy się tylko różnica współrzędnych punktów, np. (vec{AB} = (x_B – x_A, y_B – y_A)).
Podstawowe działania na wektorach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez liczbę, długość wektora) są proste rachunkowo, ale wymagają staranności, bo drobny błąd psuje późniejsze obliczenia z iloczynem skalarnym.
Iloczyn skalarny w zapisie współrzędnościowym to suma iloczynów odpowiednich współrzędnych, a jego wynik jest liczbą rzeczywistą: na płaszczyźnie (vec{u} cdot vec{v} = u_x v_x + u_y v_y), w przestrzeni dodatkowo dochodzi składnik (u_z v_z).
Interpretacja geometryczna iloczynu skalarnego (vec{u} cdot vec{v} = |vec{u}| cdot |vec{v}| cdot cos alpha) pozwala szybko badać kąt między wektorami (a więc też prostopadłość, równoległość oraz typ trójkąta: ostry, prosty, rozwarty).
Własności iloczynu skalarnego (przemienność, rozdzielność względem dodawania, wyciąganie skalara przed znak iloczynu, związek (vec{u} cdot vec{u} = |vec{u}|^2)) ułatwiają przekształcanie wzorów i pozwalają często unikać pierwiastków, pracując na kwadratach długości.
