Wprowadzenie do liczb zespolonych na maturze rozszerzonej
Liczby zespolone pojawiają się na maturze rozszerzonej z matematyki regularnie. Dają łatwe punkty, jeśli opanujesz kilka konkretnych schematów. Wbrew pozorom nie chodzi o bardzo skomplikowaną teorię, lecz o sprawne posługiwanie się zapisem algebraicznym, biegunowym, wykresem na płaszczyźnie i kilkoma standardowymi przekształceniami.
Celem nauki liczb zespolonych na poziomie maturalnym jest przede wszystkim:
rozpoznawanie i przekształcanie różnych postaci liczby zespolonej,
sprawne wykonywanie działań (dodawanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie),
interpretacja geometryczna na płaszczyźnie zespolonej,
rozwiązywanie równań i prostych zadań geometrycznych z użyciem liczb zespolonych,
korzystanie z modułu i argumentu liczby zespolonej.
Przygotowując się do matury, opłaca się patrzeć na liczby zespolone jak na narzędzie, a nie osobny, abstrakcyjny dział. Pojawiają się w zadaniach z geometrii analitycznej, równań, ciągów czy nawet kombinacji z trygonometrią. Kluczem jest kilka powtarzalnych algorytmów, które da się wyćwiczyć do automatu.
Źródło: Pexels | Autor: Pavel Danilyuk
Podstawy liczb zespolonych – zapis, część rzeczywista i urojona
Definicja liczby zespolonej i symbol i
Liczba zespolona ma ogólną postać:
z = a + bi,
gdzie:
a – część rzeczywista liczby zespolonej,
b – część urojona (dokładniej: współczynnik przy i),
i – jednostka urojona, dla której i² = -1.
To ostatnie równanie i² = -1 jest kluczowe: dzięki niemu możesz zastępować pierwiastek z liczby ujemnej zapisem z użyciem i. Przykładowo:
(sqrt{-9} = sqrt{9cdot(-1)} = 3sqrt{-1} = 3i)
(sqrt{-2} = sqrt{2}cdot i)
Na maturze często trzeba po prostu przekształcić pierwiastki z liczb ujemnych na postać z i oraz doprowadzić wyrażenie do postaci a + bi. W zadaniach otwartych punktowane jest poprawne oznaczenie części rzeczywistej i urojonej.
Część rzeczywista i część urojona – schemat odczytywania
Dla liczby zespolonej (z = a + bi):
Re(z) = a,
Im(z) = b.
Kilka typowych pułapek:
Dla z = 5 – część urojona wynosi 0, czyli Re(z) = 5, Im(z) = 0.
Dla z = -3i – część rzeczywista wynosi 0, a część urojona to -3, czyli Re(z) = 0, Im(z) = -3.
Dla z = 2 – 7i – Re(z) = 2, Im(z) = -7.
Na maturze lubią polecenia typu: „Wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczby…”, „Dla liczby zespolonej z = …, oblicz Re(z) + Im(z)” albo „Dla jakiej wartości parametru t liczba z ma część urojoną równą 3”. W każdym z nich schemat jest taki sam: sprowadź wyrażenie do postaci a + bi, a potem odczytaj współczynniki.
Postać algebraiczna – standard działania na maturze
Na egzaminie maturalnym najczęściej korzysta się z postaci algebraicznej liczby zespolonej, czyli właśnie a + bi. W tej postaci wykonuje się wszystkie podstawowe działania, upraszcza wyrażenia, liczy moduł oraz część rzeczywistą/urojoną. Nawet jeśli później użyjesz formy trygonometrycznej czy wykresu, punkt startowy zwykle jest ten sam: przejrzysta postać a + bi.
Dlatego pierwszy schemat, który wypada mieć „w palcu”, brzmi:
Rozpisz wyrażenia typu (sqrt{-k}) jako (sqrt{k} cdot i).
Połącz liczby rzeczywiste (bez i) oraz współczynniki przy i.
Zastąp i² przez -1, jeśli występuje.
Ostatecznie zapisz wynik w formie a + bi.
Ten prosty algorytm będzie wracał w praktycznie każdym zadaniu rachunkowym z liczbami zespolonymi.
Źródło: Pexels | Autor: MART PRODUCTION
Podstawowe działania na liczbach zespolonych – szybkie algorytmy
Dodawanie i odejmowanie a + bi
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych jest banalne, jeśli już masz postać a + bi. Dla liczb:
Na maturze zadania z samym dodawaniem/odejmowaniem pojawiają się częściej jako element większego wyrażenia, np. gdy trzeba przekształcić „brzydką” sumę kilku liczb zespolonych do jednej prostej postaci.
Dla przyspieszenia obliczeń warto mieć zakodowane w głowie krótkie przejście:
część rzeczywista: ac – bd,
część urojona: ad + bc.
Na maturze często pojawia się polecenie typu „Wyznacz a i b, jeśli (1 + ai)(2 – 3i) = b + 5i” – wtedy wystarczy użyć powyższego wzoru, porównać część rzeczywistą i urojoną i rozwiązać krótkie układy równań.
Skrócone mnożenie i wzory typu (a + bi)²
W zadaniach wymagających potęgowania liczb zespolonych w postaci algebraicznej bardzo często używa się wzorów skróconego mnożenia. Klasyczny przykład:
Ten ostatni wzór pojawia się bardzo często przy obliczaniu modułu liczby zespolonej oraz przy dzieleniu – bo dokładnie w ten sposób usuwa się i z mianownika.
Dzielenie liczb zespolonych – mnożenie przez sprzężenie
Dzielenie liczb zespolonych wymaga pozbycia się i z mianownika. Stosuje się do tego sprzężenie liczby zespolonej. Dla liczby z = a + bi:
Każdą liczbę zespoloną (z = a + bi) można przedstawić jako punkt w układzie współrzędnych:
oś pozioma – część rzeczywista (Re),
oś pionowa – część urojona (Im).
Punkt P(a, b) na tej płaszczyźnie odpowiada liczbie zespolonej a + bi. Ten obraz jest bardzo mocno wykorzystywany na maturze rozszerzonej. Dzięki niemu:
łatwo rozumiesz moduł jako długość wektora,
argument liczby zespolonej to po prostu kąt między wektorem a osią rzeczywistą,
dodawanie liczb zespolonych to dodawanie wektorów,
sprzężenie to odbicie względem osi rzeczywistej.
Typowe zadania maturalne: „Na płaszczyźnie zespolonej dany jest punkt odpowiadający liczbie z…, wyznacz liczby z’, takie że |z’| = |z| i argumenty się różnią o…”, „Znajdź wierzchołki trójkąta, jeśli dane są liczby zespolone…”. Bez obrazu geometrycznego takie zadania robią się niepotrzebnie trudne.
Moduł liczby zespolonej – długość wektora
Moduł liczby zespolonej (z = a + bi) to:
|z| = √(a² + b²).
Jest to nic innego jak długość wektora od początku układu do punktu (a, b). Schemat obliczania modułu jest identyczny jak w geometrii analitycznej dla wektora.
z = -1 – √3 i → |z| = √[(-1)² + (√3)²] = √(1 + 3) = 2.
Na maturze często występują równości typu:
|z| = 5,
|z – (2 + i)| = 3,
|z₁| = |z₂|.
Geometria za tym stoi bardzo prosta:
warunek |z| = R oznacza, że punkt leży na okręgu o środku w (0,0) i promieniu R,
warunek |z – z₀| = R to okrąg o środku w punkcie odpowiadającym z₀ i promieniu R,
warunek |z₁| = |z₂| opisuje zbiór punktów równo odległych od dwóch punktów – czyli prostą symetralną odcinka łączącego z₁, z₂.
Argument liczby zespolonej – kąt na płaszczyźnie
Argument – praktyczne schematy obliczeń
Dla liczby zespolonej (z = a + bi) o niezerowym module argument to kąt (varphi) (w radianach lub stopniach) spełniający:
(z = |z|(cos varphi + i sin varphi)).
Na płaszczyźnie jest to po prostu kąt między osią rzeczywistą a wektorem od początku układu do punktu (a, b), liczony zazwyczaj przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Podstawowy schemat obliczania argumentu:
Oblicz tangens kąta: (tan varphi = dfrac{b}{a}) (o ile a ≠ 0).
Wyznacz kąt z funkcji (arctan): (varphi_{0} = arctanleft(dfrac{b}{a}right)).
Na podstawie znaku a i b ustal, w której ćwiartce leży punkt (a, b), i ewentualnie dodaj/odejmij ( pi ) lub (180^{circ}).
Typowe sytuacje do rozpoznania na szybko:
a > 0, b ≥ 0 → I ćwiartka, (varphi = varphi_{0}),
a < 0 → II lub III ćwiartka, najczęściej (varphi = varphi_{0} + pi),
a > 0, b < 0 → IV ćwiartka, można brać (varphi = varphi_{0}) (z ujemnym kątem) lub dodać (2pi),
a = 0, b > 0 → (varphi = frac{pi}{2}),
a = 0, b < 0 → (varphi = -frac{pi}{2}) lub (frac{3pi}{2}).
Przykład:
(z = 1 + sqrt{3}i). Mamy (|z| = 2), (tan varphi = dfrac{sqrt{3}}{1} = sqrt{3}), więc (varphi = dfrac{pi}{3}) (I ćwiartka).
(z = -2 + 2i). (tan varphi = dfrac{2}{-2} = -1) → kąt pomocniczy (-dfrac{pi}{4}), ale punkt leży w II ćwiartce, więc (varphi = pi – dfrac{pi}{4} = dfrac{3pi}{4}).
Na maturze bardzo często pojawia się równanie typu „Wyznacz argument liczby zespolonej z = …” albo „Podaj wszystkie możliwe wartości argumentu liczby z”. Wtedy korzysta się z faktu, że argument nie jest jedyny:
(arg z = varphi + 2kpi), gdzie (k in mathbb{Z}).
Postać trygonometryczna – gdy w grę wchodzi mnożenie i potęgowanie
Skoro mamy moduł i argument, można zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej:
(z = a + bi = |z|(cos varphi + i sin varphi)).
Najbardziej przydatne w kontekście matury są trzy zastosowania:
mnożenie liczb zespolonych,
dzielenie,
potęgowanie i pierwiastkowanie.
Dla dwóch liczb:
(z_{1} = r_{1}(cos varphi_{1} + i sin varphi_{1})),
(z_{2} = r_{2}(cos varphi_{2} + i sin varphi_{2})),
Czyli przy mnożeniu mnożysz moduły i dodajesz argumenty, przy dzieleniu dzielisz moduły i odejmujesz argumenty. W zadaniach geometrycznych na płaszczyźnie zespolonej ten zapis często skraca rachunki do dwóch krótkich działań na liczbach rzeczywistych.
Przykład zadania w tym duchu:
„Dana jest liczba zespolona (z = 2(cos frac{pi}{6} + i sin frac{pi}{6})). Oblicz (z^{3}) i zapisz wynik w postaci algebraicznej.”
Stosujemy wzór Moivre’a (patrz poniżej): (z^{3} = 2^{3} left( cos 3cdotfrac{pi}{6} + i sin 3cdotfrac{pi}{6} right) = 8 (cos frac{pi}{2} + i sin frac{pi}{2})).
(z_{1} = 2left(cos dfrac{2pi}{3} + i sin dfrac{2pi}{3}right)),
(z_{2} = 2left(cos dfrac{4pi}{3} + i sin dfrac{4pi}{3}right)).
Gdy zadanie wymaga postaci algebraicznej, wystarczy podstawić znane wartości cos i sin.
Równania z liczbami zespolonymi – klasyczne typy zadań
W arkuszach rozszerzonych często pojawiają się zadania, gdzie liczba zespolona jest niewiadomą lub wchodzi w skład wyrażenia z parametrem. Najprostsze typy:
równanie liniowe w postaci (az + boverline{z} = c),
równania modułowe typu (|z – z_{0}| = R),
równania kwadratowe z rozwiązaniami zespolonymi.
Układ z Re(z) i Im(z)
Gdy w treści pojawia się np. „niech (z = x + yi)” – to sygnał, że warto przejść do układu równań z niewiadomymi x, y.
Lewa strona jest liczbą rzeczywistą, prawa ma część urojoną -2, więc równanie nie ma rozwiązania (brak zgodności części urojonej). Ten motyw – porównywanie części rzeczywistej i urojonej – jest standardowym narzędziem, gdy do gry wchodzi sprzężenie.
Równania kwadratowe z rozwiązaniami zespolonymi
Każde równanie kwadratowe z rzeczywistymi współczynnikami i ujemnym wyróżnikiem D ma dwa sprzężone pierwiastki zespolone. Jeśli:
Takie zadania często łączą się później z prostym pytaniem o sumę lub iloczyn pierwiastków, moduły rozwiązań albo ich rozmieszczenie na płaszczyźnie zespolonej.
Zbiory punktów na płaszczyźnie zespolonej – najważniejsze schematy
Wyrażenia z modułem lub warunkiem na części rzeczywiste/urojone opisują konkretne zbiory punktów. Przydatne są szczególnie trzy typy:
Okręgi opisane przez moduł
Warunek:
(|z – z_{0}| = R)
oznacza okrąg o środku w punkcie odpowiadającym liczbie (z_{0}) i promieniu R. Gdy zadanie brzmi „Opisz zbiór liczb zespolonych spełniających |z – (3 – 2i)| = 4”, chodzi dokładnie o zbiór punktów odległych o 4 od punktu (3, -2).
Jeśli pojawia się nierówność:
(|z – z_{0}| leq R) – koło wraz z brzegiem,
(|z – z_{0}| < R) – koło bez brzegu,
(|z – z_{0}| geq R) – zewnętrze okręgu.
Proste zdefiniowane przez równość modułów
Warunki typu:
(|z – z_{1}| = |z – z_{2}|)
opisują zbiór punktów równo odległych od dwóch punktów z₁ i z₂. Jest to symetralna odcinka łączącego z₁, z₂. Gdy z₁, z₂ leżą na płaszczyźnie, można w razie potrzeby przejść do zapisu analitycznego, ale w większości zadań wystarczy poprawna interpretacja geometryczna.
Pasy poziome i pionowe – warunki na Re(z) i Im(z)
Pasy poziome i pionowe – warunki na Re(z) i Im(z) w praktyce
Dla liczby (z = x + yi):
warunek (operatorname{Re}(z) = a) opisuje prostą pionową (x = a),
warunek (operatorname{Im}(z) = b) opisuje prostą poziomą (y = b).
Nierówności poszerzają te proste do pasów:
(operatorname{Re}(z) geq a) – półpłaszczyzna na prawo od prostej (x = a),
(operatorname{Re}(z) leq a) – półpłaszczyzna na lewo,
(operatorname{Im}(z) geq b) – półpłaszczyzna powyżej prostej (y = b),
(operatorname{Im}(z) leq b) – półpłaszczyzna poniżej.
Gdy pojawia się kilka warunków jednocześnie, szuka się ich części wspólnej – zwykle prostokąta, paska lub odcinka prostej.
Przykład: opis zbioru liczb zespolonych spełniających układ
(operatorname{Re}(z) in [1, 3]),
operatorname{Im}(z) in (-2, 2)).
To prostokąt o wierzchołkach ((1, -2)), ((3, -2)), ((3, 2)), ((1, 2)); dwa boki odpowiadają prostym pionowym, dwa – poziomym.
Połączenie warunków modułowych i na części – typowe chwyty
W bardziej rozbudowanych zadaniach pojawia się kombinacja kilku warunków: moduł, część rzeczywista i urojona naraz. Zwykle chodzi o rozpoznanie znanej figury: okręgu przyciętego prostą, pasa ograniczonego okręgiem itp.
Najwygodniejsza strategia:
Przepisać warunki w języku (x, y).
Osobno zinterpretować każdy z nich geometrycznie.
Narysować szkic i zaznaczyć część wspólną.
Przykład: „Opisz w języku geometrycznym zbiór liczb zespolonych (z) spełniających
(|z – 2| leq 3) – koło o środku w punkcie ((2, 0)) i promieniu 3 (wraz z brzegiem).
(operatorname{Im}(z) geq 1) – półpłaszczyzna powyżej prostej poziomej (y = 1) (łącznie z linią).
Część wspólna: „górny kawałek” tego koła, odcięty prostą (y = 1).
Argument i moduł w zadaniach geometrycznych
Argument liczby zespolonej to po prostu kąt, pod jakim widać punkt z początku układu współrzędnych. Przy stałym argumencie otrzymuje się promień (półprostą), przy warunku na moduł – okrąg. Połączenie obu daje łuk lub pojedynczy punkt.
Kluczowe schematy:
(arg z = alpha) – półprosta wychodząca z (0,0) pod kątem (alpha) (bez zera, chyba że dopuszczamy (z = 0)),
(|z| = r) – okrąg o środku w (0,0) i promieniu r,
(|z| leq r) – koło o tym środku.
Gdy dodatkowo:
(arg z in [alpha, beta]),
otrzymuje się wycinek koła (jeżeli jest też warunek na moduł) lub „kąt” bez ograniczenia długości (jeśli moduł nie jest ograniczony z góry).
Przykład maturalny:
„Opisz zbiór punktów odpowiadających liczbom zespolonym (z) takim, że
(|z| = 4 quad text{i} quad arg z = dfrac{pi}{6}).”
To pojedynczy punkt na płaszczyźnie – przecięcie okręgu o promieniu 4 z półprostą pod kątem (frac{pi}{6}). Współrzędne można podać wprost:
(z = 4left(cos frac{pi}{6} + i sin frac{pi}{6}right) = 4cdotfrac{sqrt{3}}{2} + 4cdotfrac{1}{2}i = 2sqrt{3} + 2i).
Symetrie na płaszczyźnie zespolonej – szybkie schematy
Na maturze lubią się pojawiać pytania typu: „Jaki jest obraz punktu odpowiadającego liczbie z w symetrii względem osi rzeczywistej/urojonej/początku układu?”. W języku liczb zespolonych wszystko sprowadza się do prostych operacji na z.
Sprzężenie ( overline{z} ) – symetria względem osi rzeczywistej.
Jeśli (z = x + yi), to (overline{z} = x – yi).
Przeciwny punkt (-z) – symetria względem początku układu.
(z = x + yi Rightarrow -z = -x – yi).
Symetria względem osi urojonej – odpowiada przejściu (z mapsto -overline{z}).
(z = x + yi Rightarrow -overline{z} = -x + yi).
Do tego dochodzi jeszcze mnożenie przez liczbę zespoloną o module 1:
(z mapsto e^{ialpha}z) (czyli (cosalpha + isinalpha)) – obrót o kąt (alpha) wokół początku,
(z mapsto -z) – obrót o (pi),
(z mapsto iz) – obrót o (frac{pi}{2}).
Przykład:
Obrazem liczby (z = 3 – 4i) w symetrii względem osi urojonej jest (-overline{z} = -3 – 4i). Wystarczy skorzystać z opisanych wzorów, bez rysowania wykresu, a dopiero na końcu sprawdzić wynik na szkicu.
Liczby zespolone a wielomiany – pierwiastki, które „brakują”
Często spotyka się wielomiany z rzeczywistymi współczynnikami, które „z natury” powinny mieć określoną liczbę pierwiastków zespolonych (zliczając krotności). Jeżeli pojawia się informacja o jednym pierwiastku zespolonym nierzeczywistym, to drugi z pary pojawia się automatycznie jako jego sprzężenie.
Kluczowy fakt:
Jeżeli wielomian ma rzeczywiste współczynniki i (z) jest jego pierwiastkiem, to (overline{z}) również.
Przykład:
„Wiadomo, że liczba zespolona (1 + 2i) jest pierwiastkiem wielomianu stopnia 3 o rzeczywistych współczynnikach. Zapisz pozostałe pierwiastki w zależności od rzeczywistego parametru.”
Od razu wiadomo, że drugim pierwiastkiem jest (1 – 2i). Trzeci jest rzeczywisty (bo stopień 3), więc można go oznaczyć np. przez (t in mathbb{R}) i w dalszej części zadania korzystać z zależności między współczynnikami a sumą i iloczynem pierwiastków.
Jednostka zespolona w trygonometrii – skróty, które pojawiają się na rozszerzeniu
Nawet jeżeli nie wchodzisz w pełne zastosowania liczb zespolonych do trygonometrii, kilka prostych obserwacji przydaje się do przekształceń i zadań otwartych.
Dla punktu na okręgu jednostkowym ((|z| = 1)):
(z = cosvarphi + isinvarphi),
(overline{z} = cosvarphi – isinvarphi).
Z tego wynika szybki sposób na wyrażenie cos i sin w funkcji z oraz (overline{z}):
(cosvarphi = dfrac{z + overline{z}}{2}),
(sinvarphi = dfrac{z – overline{z}}{2i}).
W zadaniach maturalnych częściej wykorzystuje się jednak prostszą wersję: gdy dane jest ((cosvarphi + isinvarphi)^{n}), to rozwinięcie za pomocą Moivre’a prowadzi do tożsamości trygonometrycznych. Wystarczy porównać część rzeczywistą i urojoną po obu stronach.
Na maturze rzadko każe się je wyprowadzać od zera, ale raz na jakiś czas pojawia się zadanie, gdzie eleganckie skorzystanie z Moivre’a skraca rachunki o połowę.
Najczęstsze „haczyki” w zadaniach z liczbami zespolonymi
Przeglądając arkusze z ostatnich lat, łatwo zauważyć powtarzające się motywy, na których uczniowie tracą punkty nie przez brak wiedzy, ale przez drobiazgi. Kilka z nich:
Argument wieloznaczny – przy pierwiastkach i zadaniach na obrót trzeba uwzględnić (+2kpi). Dla końcowej postaci trygonometrycznej wybiera się argument główny, ale przy rozwiązywaniu równań nie wolno o tym zapomnieć.
Pomylenie modułu z częścią rzeczywistą – (|z|) to odległość od zera, a (operatorname{Re}(z)) to rzut na oś rzeczywistą. Dla liczby (3 + 4i) moduł wynosi 5, a część rzeczywista 3.
Sprzężenie w iloczynie – (|z|^{2} = zoverline{z}). Przy równaniach z modułem jest to najkrótsza droga do postaci algebraicznej.
Zera w mianowniku – przy dzieleniu przez liczbę zespoloną w formie algebraicznej należy usuwać „i” z mianownika przez pomnożenie przez sprzężenie, ale wcześniej sprawdzić, czy liczba nie jest zerem.
Ogólny trik jest zawsze ten sam: gdy zadanie wydaje się nieprzyjemne rachunkowo, warto zastanowić się, czy nie „prosi się” o użycie schematu – postaci trygonometrycznej, Moivre’a, zamiany na (x + yi) lub interpretacji geometrycznej. Dobrze opanowane wzorce pozwalają ominąć większość żmudnych przekształceń.
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Co to są liczby zespolone i po co są na maturze rozszerzonej?
Liczba zespolona ma postać (z = a + bi), gdzie (a) to część rzeczywista, (b) to część urojona (współczynnik przy (i)), a (i) jest jednostką urojoną spełniającą równanie (i^2 = -1). Dzięki temu można zapisywać pierwiastki z liczb ujemnych, np. (sqrt{-9} = 3i).
Na maturze rozszerzonej liczby zespolone pojawiają się regularnie jako osobne zadania lub element zadań z geometrii analitycznej, równań, ciągów i trygonometrii. Dają stosunkowo łatwe punkty, jeśli opanujesz podstawowe schematy: zapis w postaci (a + bi), działania, moduł, argument oraz interpretację na płaszczyźnie zespolonej.
Jak szybko doprowadzać wyrażenia z pierwiastkami ujemnymi do postaci a + bi?
Podstawowy schemat jest zawsze ten sam:
zapisz (sqrt{-k}) jako (sqrt{k} cdot i), np. (sqrt{-8} = sqrt{8}cdot i),
uporządkuj wyrażenie, grupując część rzeczywistą (bez (i)) i współczynniki przy (i),
zamień wszędzie (i^2) na (-1),
zapisz wynik w postaci (a + bi) i odczytaj (Re(z) = a), (Im(z) = b).
W zadaniach maturalnych bardzo często punktowane jest właśnie poprawne przekształcenie „brzydkiego” wyrażenia z pierwiastkami do czytelnej postaci (a + bi).
Jak odczytać część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej w typowych zadaniach?
Dla liczby (z = a + bi) mamy zawsze:
(Re(z) = a),
(Im(z) = b).
Przykłady: dla (z = 5) jest (Re(z) = 5), (Im(z) = 0); dla (z = -3i) jest (Re(z) = 0), (Im(z) = -3); dla (z = 2 – 7i) jest (Re(z) = 2), (Im(z) = -7).
W poleceniach typu „oblicz Re(z) + Im(z)” lub „dla jakiej wartości parametru t liczba z ma część urojoną równą 3?” najpierw sprowadzasz wyrażenie do postaci (a + bi), a dopiero potem odczytujesz (a) i (b) i podstawiasz do równań.
Jak mnożyć i dzielić liczby zespolone na maturze rozszerzonej?
Dla liczb (z_1 = a + bi), (z_2 = c + di) mnożenie działa jak zwykłe mnożenie dwumianów:
((a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i). Na końcu zawsze zamieniasz (i^2) na (-1). Warto zapamiętać, że część rzeczywista to (ac – bd), a urojona to (ad + bc).
Dzielenie wykonuje się przez mnożenie przez sprzężenie mianownika. Jeśli dzielisz (dfrac{a + bi}{c + di}), to mnożysz licznik i mianownik przez (c – di). Otrzymujesz w mianowniku (c^2 + d^2) (liczbę rzeczywistą), a licznik upraszczasz do postaci (A + Bi), a potem dzielisz oba współczynniki przez (c^2 + d^2).
Co to jest sprzężenie liczby zespolonej i do czego służy w zadaniach?
Sprzężeniem liczby zespolonej (z = a + bi) nazywamy liczbę (overline{z} = a – bi). Różnią się tylko znakiem przy części urojonej. Na płaszczyźnie zespolonej sprzężenie to odbicie punktu względem osi rzeczywistej.
W zadaniach maturalnych sprzężenie służy głównie do:
usuwania (i) z mianownika przy dzieleniu (mnożysz przez sprzężenie),
obliczania modułu, bo (zoverline{z} = a^2 + b^2),
zadań geometrycznych z odbiciami na płaszczyźnie zespolonej.
Znajomość tego pojęcia znacząco upraszcza rachunki i konstrukcję rozwiązań.
Jak rozumieć moduł i argument liczby zespolonej w kontekście matury?
Na płaszczyźnie zespolonej liczbie (z = a + bi) odpowiada punkt ( (a, b)). Moduł (|z|) to długość wektora od punktu (0,0) do (a,b), więc (|z| = sqrt{a^2 + b^2}). Argument to kąt między tym wektorem a dodatnią częścią osi rzeczywistej (zwykle oznaczany (varphi)).
Na maturze moduł pojawia się w rachunkach (np. przy wyznaczaniu odległości, w nierównościach z modułem, przy dzieleniu przez sprzężenie), a argument głównie w zadaniach geometrycznych i połączeniach z trygonometrią. Często wystarcza umiejętność narysowania liczby na płaszczyźnie i zastosowania twierdzenia Pitagorasa oraz podstaw trygonometrii.
Co warto zapamiętać
Liczby zespolone na maturze rozszerzonej to głównie praktyczne schematy rachunkowe (a nie trudna teoria) – służą jako narzędzie w zadaniach z równań, geometrii analitycznej, ciągów i trygonometrii.
Podstawą jest postać algebraiczna z = a + bi: trzeba umieć sprowadzać każde wyrażenie z pierwiastkami z liczb ujemnych do tej formy, a potem odczytywać część rzeczywistą Re(z) i urojoną Im(z).
Jednostka urojona i spełnia i² = -1, co pozwala zamieniać pierwiastki z liczb ujemnych (np. √-9 = 3i, √-2 = √2 · i) oraz upraszczać wyrażenia przy potęgowaniu i mnożeniu.
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych polega na osobnym sumowaniu części rzeczywistych i urojonych: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
Mnożenie liczb zespolonych odbywa się jak mnożenie dwumianów, z wykorzystaniem schematu: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i i zamianą i² na -1.
Warto wykorzystywać wzory skróconego mnożenia, szczególnie (a + bi)² = (a² – b²) + 2abi oraz (a + bi)(a – bi) = a² + b², co upraszcza potęgowanie, obliczanie modułu i dalsze przekształcenia.
