Dlaczego zadania z prawdopodobieństwa na maturze sprawiają kłopot?
Co tak naprawdę sprawdzają zadania z prawdopodobieństwa?
Zadania z prawdopodobieństwa na maturze nie badają wyłącznie znajomości wzorów. Egzaminatorzy chcą zobaczyć, czy potrafisz:
przeczytać opis sytuacji i zamienić go na język matematyki,
rozpoznać, z jakim typem prawdopodobieństwa masz do czynienia (klasyczne, warunkowe, z drzewem, z kombinatoryką),
wybrać odpowiedni model (schemat losowania, drzewko, tabela, kombinacje),
odróżnić zdarzenia od siebie i nie mieszać zdarzeń elementarnych z złożonymi,
stosować działania na prawdopodobieństwach (suma, iloczyn, dopełnienie).
Jeżeli traktujesz zadania z prawdopodobieństwa jak zgadywanki, każda historia z kulkami, kartami czy testami staje się inna. Gdy zobaczysz, że niemal wszystkie takie zadania opierają się na kilku powtarzalnych schematach, poczujesz się znacznie pewniej na maturze.
Typowe błędy maturzystów
W arkuszach maturalnych powtarza się pewien zestaw błędów. Im szybciej nauczysz się ich unikać, tym szybciej zaczniesz zdobywać pełne punkty.
Brak modelu losowania – próba liczenia „z głowy” bez narysowania drzewa, tabeli lub bez opisania zbioru wyników. W efekcie łatwo się pogubić i policzyć coś dwa razy.
Mylenie losowania z zwracaniem i bez zwracania – to zmienia nie tylko liczby w liczniku i mianowniku, ale często cały sposób liczenia.
Błędne odczytywanie słów „co najmniej”, „dokładnie”, „nie więcej niż” – przez to w liczniku lądują niewłaściwe przypadki.
Odrzucenie warunku w prawdopodobieństwie warunkowym – wiele osób liczy zwykłe prawdopodobieństwo, ignorując podany warunek („wiadomo, że wylosowano…”, „okazało się, że…”).
Zbyt wczesne zaokrąglanie – obcina wyniki pośrednie, co przy kilku krokach mnożenia potrafi zmienić wynik końcowy.
Praktyczny sposób na uniknięcie tych błędów: za każdym razem wypisuj co jest zdarzeniem, jaki jest zbiór wszystkich możliwych wyników i co jest wynikiem korzystnym. To prosty nawyk, a porządkuje 80% typowych zadań.
Jakie typy zadań z prawdopodobieństwa pojawiają się na maturze?
W zadaniach maturalnych z prawdopodobieństwa pojawiają się najczęściej następujące schematy:
losowanie kul, kartek, uczniów, kart do gry – z zwracaniem lub bez zwracania,
zadania z rzutami kostką, monetą, kilkoma kostkami naraz,
zadania z testami jednokrotnego wyboru (zgadywanie odpowiedzi, wyniki egzaminu itp.),
prawdopodobieństwo w kontekście statystyki (tabele, wykresy, procenty),
proste zadania z prawdopodobieństwem warunkowym, zwykle z kontekstem typu „wiadomo, że…”,
zadania mieszane: najpierw kombinatoryka (liczba możliwych wyborów), potem prawdopodobieństwo.
Dobra strategia: przejść po każdym z tych typów, zbudować dla niego schemat postępowania, a potem wyćwiczyć po kilka–kilkanaście zadań do każdego. Schemat plus przykłady robią ogromną różnicę na maturze z prawdopodobieństwa.
Fundament: definicja prawdopodobieństwa i poprawne czytanie treści
Definicja prawdopodobieństwa klasycznego
Na maturze z matematyki dominuje prawdopodobieństwo klasyczne. Jego definicja wygląda tak:
P(A) = liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A / liczba wszystkich możliwych wyników,
o ile wszystkie wyniki są równie prawdopodobne.
Przykład prosty, ale bardzo ważny:
rzucasz uczciwą kostką sześcienną,
zdarzenie A – „wypadnie liczba parzysta”.
Liczba wszystkich możliwych wyników: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Liczba wyników sprzyjających A: 3 (2, 4, 6).
Zatem: P(A) = 3/6 = 1/2.
Proste, ale identycznie myśli się w zadaniach z kulami, kartami czy uczniami, tylko liczby są większe, a wyniki wygodniej liczyć kombinatorycznie.
Jak czytać treść zadania z prawdopodobieństwa?
Kilkustopniowy schemat czytania treści pomaga uporządkować myślenie:
Odczytaj losowy eksperyment – co jest „rzutem kostką” w tej historii? Losowanie kuli, osoby, arkusza, kombinacji liczb?
Wypisz, co jest wynikiem elementarnym – pojedynczym możliwym rezultatem eksperymentu. Np. „wylosowano kulę czerwoną”, „wypadło (2,5) na dwóch kostkach”, „wybrano ucznia z klasy 3A”.
Określ zdarzenie A, o które pytają – często opisywane słowami: „prawdopodobieństwo, że…”. Przepisz je matematycznie.
Zdecyduj o modelu – drzewko, tabela, kombinacje, proste liczenie „z definicji”.
Sprawdź, czy wyniki są równoprawdopodobne – jeśli tak, możesz używać klasycznego P(A) = korzystne/wszystkie.
Jeśli zatrzymasz się na tych pięciu krokach, zanim cokolwiek policzysz, unikniesz masy nieporozumień w zadaniach z prawdopodobieństwa na maturze.
Równoprawdopodobne czy nie?
Egzamin maturalny z matematyki prawie zawsze zakłada sytuacje, w których wszystkie wyniki elementarne są jednakowo możliwe. Zdarzają się jednak wyjątki, np. gdy:
rzut kostką jest „fałszywy” – ma większe szanse na pewien wynik,
w treści podany jest rozkład prawdopodobieństwa: „prawdopodobieństwo, że uczeń wybierze odpowiedź A, wynosi 0,4, odpowiedź B – 0,3, …”.
W takich przypadkach nie liczysz „korzystne/wszystkie”, tylko korzystasz z podanych wartości prawdopodobieństw i wykonujesz na nich działania (dodawanie, mnożenie, dopełnienie).
Warto pilnować: jeśli w zadaniu są podane konkretne prawdopodobieństwa, zazwyczaj nie ma sensu kombinatoryka ani liczenie z definicji klasycznej – raczej potrzebne będzie drzewko lub proste operacje na tych liczbach.
Najprostsze schematy: kostka, moneta, karty – jak punkty „za darmo”
Rzuty kostką i monetą – zadania podstawowe
Przykładowy schemat: rzut uczciwą monetą – wynik elementarny to „orzeł” albo „reszka”.
Przykład: Rzucamy trzy razy uczciwą monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie dwa razy wypadnie orzeł.
Krok po kroku:
Liczba wszystkich wyników: każde losowanie ma 2 wyniki, więc łącznie 2³ = 8 wyników.
Wyniki korzystne: sekwencje z dokładnie dwoma orłami, czyli: O O R, O R O, R O O – razem 3.
P(A) = 3/8.
Można też podejść kombinatorycznie: wybierasz, na których z 3 rzutów będzie orzeł: C(3,2) = 3 sposoby, każdy ma prawdopodobieństwo 1/8. Ostatecznie 3·1/8 = 3/8.
Rzut dwiema kostkami – tabela wyników
Typowy motyw maturalny: suma oczek na dwóch kostkach, porównywanie z daną liczbą itd. Wygodnie jest ułożyć tabelę 6×6.
Załóżmy: Rzucamy dwoma uczciwymi kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie równa 8.
Krok po kroku:
Wszystkie możliwe wyniki: para (a, b), gdzie a i b to oczka od 1 do 6. Jest ich 6·6 = 36.
Szukamy par, dla których a + b = 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) – razem 5 par.
P(A) = 5/36.
Jeśli podobne zadanie pojawi się na maturze, dostajesz punkty niemal „za darmo”, o ile mechanicznie zbudujesz model wszystkich wyników (36 par) i policzysz korzystne.
Proste zadania z talią kart
W talii 52 kart (bez jokerów) przydatne liczby to:
52 karty w sumie,
4 kolory (♠, ♥, ♦, ♣), w każdym po 13 kart,
wartości: 13 różnych wartości (A, 2, 3, …, 10, J, Q, K),
po 4 karty każdej wartości (np. cztery damy),
po 3 figury w każdym kolorze (J, Q, K).
Przykład: Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to figura (walet, dama lub król).
W każdym kolorze są 3 figury; łącznie: 4·3 = 12 figur.
P(A) = 12/52 = 3/13.
Przykład nieco trudniejszy: Losujemy z talii dwie karty bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą damami.
Można to policzyć na dwa sposoby: bezpośrednio z definicji lub jako iloczyn prawdopodobieństw.
Sposób 1 – kombinacje
Liczba wszystkich możliwych dwuelementowych wyborów z 52 kart: C(52,2).
Liczba korzystnych wyników (2 damy): C(4,2), bo są 4 damy i trzeba wybrać 2.
P(A) = C(4,2) / C(52,2).
Sposób 2 – mnożenie
P(pierwsza dama) = 4/52.
P(druga dama | pierwsza dama) = 3/51 (zostały 3 damy z 51 kart).
P(A) = (4/52)·(3/51).
Po uproszczeniu oba sposoby dają ten sam wynik, ale sposób 2 jest zwykle szybszy na maturze z prawdopodobieństwa.
Drzewka prawdopodobieństwa: porządkowanie złożonych sytuacji
Jak budować drzewko prawdopodobieństwa?
Drzewko przydaje się, gdy:
działasz w kilku krokach (np. losujesz trzy osoby, losujesz kulę dwa razy),
prawdopodobieństwa zmieniają się między krokami (losowanie bez zwracania),
masz podane różne prawdopodobieństwa w zależności od wyniku poprzedniego kroku.
Schemat budowy:
Zaznaczasz punkt startowy.
Rysujesz gałęzie odpowiadające wszystkim możliwym wynikom pierwszego etapu, dopisując obok nich odpowiednie prawdopodobieństwa.
Od każdego wyniku pierwszego etapu rysujesz kolejne gałęzie dla drugiego etapu (ponownie z prawdopodobieństwami).
Mnożysz prawdopodobieństwa wzdłuż gałęzi, by uzyskać prawdopodobieństwo konkretnej ścieżki (ciągu zdarzeń).
Jeżeli interesuje cię większe zdarzenie (np. „dokładnie raz czerwona kula”), sumujesz prawdopodobieństwa odpowiednich gałęzi.
Przykład z drzewkiem: losowanie bez zwracania
W urnie są 2 kule białe i 1 czarna. Losujemy dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy dokładnie jedną kulę białą.
Krok po kroku:
Pierwsze losowanie:
B – biała (2/3),
C – czarna (1/3).
Drugie losowanie:
Jeżeli wylosowaliśmy B: zostało 1 B i 1 C → P(B|B) = 1/2, P(C|B) = 1/2.
Jeżeli wylosowaliśmy C: zostały 2 B → P(B|C) = 2/2 = 1.
Ścieżki wraz z prawdopodobieństwami:
B → B: (2/3)·(1/2) = 1/3,
B → C: (2/3)·(1/2) = 1/3,
C → B: (1/3)·1 = 1/3.
„Dokładnie jedna biała kula” oznacza ścieżki: B → C oraz C → B.
P(A) = 1/3 + 1/3 = 2/3.
Źródło: Pexels | Autor: Karola G
Prawdopodobieństwo z warunkiem – gdy pojawia się „wiadomo, że…”
Co oznacza „prawdopodobieństwo warunkowe” na maturze?
W zadaniach maturalnych często pojawia się zdanie typu: „Wiadomo, że wylosowano kartę czerwoną. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to dama”. To jest właśnie sytuacja z prawdopodobieństwem warunkowym.
Symbolicznie zapisuje się je jako P(A|B) – czytaj: „prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B”.
Definicja, której możesz potrzebować:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), o ile P(B) > 0.
Jak to ugryźć „z obrazka” – zawężenie przestrzeni wyników
W praktyce maturalnej najprościej myśleć tak: zdarzenie B „ustawia” nowy świat, w którym już wiesz, co się stało. Wszystkie twoje rozważania dotyczą tylko wyniku zgodnego z B.
Prosty przykład:
Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Wiadomo, że wylosowana karta jest czerwona. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to dama.
„Świat początkowy”: 52 karty.
„Po informacji B – karta jest czerwona”: zostają tylko czerwone karty (♥ i ♦), czyli 26 kart. To jest teraz nasza „liczba wszystkich możliwych wyników”.
„Korzystne” – czerwone damy: dama kier i dama karo → 2 karty.
P(A|B) = 2/26 = 1/13.
Ta sama sytuacja z definicji:
A – „wylosowano damę”,
B – „wylosowano kartę czerwoną”.
P(A ∩ B) – dama i czerwona: 2 karty → 2/52.
P(B) – karta czerwona: 26/52.
P(A|B) = (2/52) / (26/52) = 2/26 = 1/13.
Typowe słowa-klucze wskazujące warunek
W treściach z prawdopodobieństwem warunkowym często pojawiają się zwroty:
„wiadomo, że…”
„okazało się, że…”
„jeżeli wylosowano …, to oblicz prawdopodobieństwo, że…”
„pod warunkiem, że…”
Kiedy widzisz taki fragment, ustaw w głowie nową przestrzeń przypadków – już po tej informacji.
Przykład maturalny z uczniami
W klasie jest 12 chłopców i 18 dziewcząt. Spośród nich losujemy jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowano ucznia, jeśli wiadomo, że ma on ocenę celującą z matematyki. Załóż, że:
5 chłopców ma celującą ocenę z matematyki,
7 dziewcząt ma celującą ocenę z matematyki.
Krok po kroku:
Zdarzenie B – „uczeń z oceną celującą z matematyki”: 5 + 7 = 12 osób.
Zdarzenie A – „uczeń jest chłopcem”.
A ∩ B – „chłopiec z oceną celującą”: 5 osób.
P(A|B) = 5/12.
Dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw – kiedy plus, a kiedy razy?
Zdarzenia rozłączne – kiedy użyć dodawania?
Zdarzenia rozłączne (wzajemnie wykluczające się) nie mogą zajść jednocześnie. Wtedy:
Jeśli A i B są rozłączne, to P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Przykład:
Rzucasz kostką. A – „wypadnie 1”, B – „wypadnie 2”. A i B są rozłączne, więc:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Zdarzenia niezależne – kiedy użyć mnożenia?
Zdarzenia niezależne to takie, gdzie wynik jednego nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego. Typowy przykład: rzuty monetą, rzuty kostką, losowania ze zwracaniem.
Dla niezależnych A i B:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Przykład:
Rzucasz kostką i monetą. A – „na kostce liczba parzysta”, B – „na monecie orzeł”.
P(A) = 3/6 = 1/2,
P(B) = 1/2,
P(A ∩ B) = (1/2)·(1/2) = 1/4.
Nie mieszaj: „lub” vs „i”
Na maturze często gubi się punkty przez mechaniczne dodawanie lub mnożenie. Prosty trik:
Słowo „i” → zwykle iloczyn (A i B naraz).
Słowo „lub” → zwykle suma (A lub B, może być jedno, drugie albo oba).
Trzeba jednak uważać, czy zdarzenia są rozłączne (wtedy proste dodawanie) czy nie. Gdy nie są rozłączne, stosuje się wzór:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Przykład: „mianownik wspólny” dodawania i mnożenia
Rzucamy uczciwą kostką. A – „wypadnie liczba parzysta”, B – „wypadnie liczba większa od 3”.
1. P(A ∩ B) – parzysta i zarazem większa od 3 → {4, 6} → 2/6.
2. P(A ∪ B) – parzysta lub większa od 3:
same parzyste: {2, 4, 6},
same >3: {4, 5, 6},
razem: {2, 4, 5, 6} → 4 wyniki.
Bezpośrednio: P(A ∪ B) = 4/6.
Z wzoru: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6.
Dopełnienie zdarzenia – szybka droga do wyniku
Co to jest zdarzenie przeciwne?
Część zadań liczy się znacznie szybciej, gdy zamiast wprost policzysz dopełnienie zdarzenia. Zdarzenie przeciwne do A oznaczamy często A′ lub Ac – to wszystkie wyniki, w których A nie zachodzi.
Podstawowa relacja:
P(A) + P(A′) = 1, więc P(A) = 1 − P(A′).
Kiedy wygodnie użyć dopełnienia?
Najczęściej w zdaniach typu:
„co najmniej raz…”,
„przynajmniej jedna…”,
„nie mniej niż…”
Bo dopełnienie „co najmniej raz” to po prostu „ani razu”.
Przykład: co najmniej jedna reszka
Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie reszka.
Zamiast wymieniać wszystkie korzystne wyniki, zrób tak:
Zdarzenie A – „co najmniej raz reszka”.
Zdarzenie przeciwne A′ – „ani razu reszka”, czyli „same orły”.
P(A′) = P(OOO) = (1/2)³ = 1/8.
P(A) = 1 − 1/8 = 7/8.
Przykład z kartami: żadna figura
Z talii 52 kart losujemy trzy karty bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że żadna nie będzie figurą (J, Q, K).
Łatwiej policzyć to wprost, ale warto zobaczyć mechanizm:
figury: 12 kart,
nie-figury: 52 − 12 = 40 kart.
Zdarzenie A – „żadna figura”. Dopóki nie losujemy figur, to „świat” zmniejsza się tylko wśród 40 kart.
P(pierwsza nie figura) = 40/52,
P(druga nie figura | pierwsza nie figura) = 39/51,
P(trzecia nie figura | dwie nie figury) = 38/50.
P(A) = (40/52)·(39/51)·(38/50).
Gdyby zadanie brzmiało „co najmniej jedna figura”, używamy dopełnienia:
P(co najmniej jedna figura) = 1 − P(żadna figura) = 1 − (40/52)·(39/51)·(38/50).
Kombinatoryka w zadaniach z prawdopodobieństwa – bez wkuwania, z rozumieniem
Jak odróżnić wariacje od kombinacji w zadaniach maturalnych?
W większości zadań maturalnych wystarczy rozumieć trzy sytuacje:
Permutacje – układanie wszystkich elementów w kolejności (np. ustawienie 5 uczniów w szeregu).
Kombinacje – wybór bez kolejności (np. losowanie 3 uczniów z klasy do projektu).
Wariacje – wybór z kolejnością (np. trzycyfrowy kod z różnych cyfr).
Najczęściej w zadaniach z prawdopodobieństwa pojawiają się kombinacje, czyli symbole C(n, k).
Jak czytać C(n, k) w zadaniu?
C(n, k) to liczba sposobów wybrania k-elementowego podzbioru z n-elementowego zbioru, gdy nie ma znaczenia kolejność.
Możesz używać wzoru:
C(n, k) = n! / (k!(n − k)!),
ale na maturze często wystarczy proste rozwinięcie „schodkowe”, bez pełnego silni.
Przykład: losowanie uczniów do konkursu
W klasie jest 20 uczniów. Nauczyciel losuje 3 osoby do konkursu. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosuje konkretną trójkę (np. Anię, Bartka i Celinę).
Wszystkie możliwe trójki uczniów: C(20, 3).
Wynik korzystny: dokładnie jedna trójka – {Ania, Bartek, Celina}.
P(A) = 1 / C(20, 3).
Zauważ, że to jest zadanie o równoprawdopodobnych trójkach, więc definicja klasyczna (korzystne/wszystkie) sprawdza się idealnie.
Przykład: dokładnie dwóch chłopców
W klasie jest 12 chłopców i 8 dziewcząt. Losujemy 3 osoby do projektu. Oblicz prawdopodobieństwo, że w wylosowanej trójce będzie dokładnie dwóch chłopców.
Model kombinacyjny jest tu bardzo wygodny.
Wszystkie możliwe trójki: C(20, 3).
Korzystne trójki – dokładnie 2 chłopców i 1 dziewczyna:
wybór 2 chłopców z 12: C(12, 2),
wybór 1 dziewczyny z 8: C(8, 1).
Liczba korzystnych trójek: C(12, 2)·C(8, 1).
P(A) = [C(12, 2)·C(8, 1)] / C(20, 3).
Mieszanie kombinatoryki z drzewkiem – pułapka
Czasami uczniowie próbują w jednym zadaniu rysować drzewko i jednocześnie stosować C(n, k). Da się tak zrobić, ale łatwo o podwójne liczenie tych samych wyników.
Bezpieczna zasada: gdy mówisz o konkretnych osobach lub rzeczach i kolejność nie ma znaczenia, zwykle wygodniejsze są kombinacje C(n, k). Drzewko przydaje się wtedy, gdy kolejność losowań lub zmieniające się prawdopodobieństwa mają znaczenie.
Najczęstsze typy zadań maturalnych z prawdopodobieństwa
Typ 1: losowanie z urny (kule, bilety, numery)
Przykład schematu:
Masz urnę z kulami w kilku kolorach.
Losujesz jedną lub kilka kul, z zwracaniem lub bez.
Pytają o „dokładnie”, „co najmniej”, „co najwyżej” określony kolor.
Strategia:
Wypisz liczby kul każdego koloru.
Sprawdź: z zwracaniem (prawdopodobieństwo w każdym kroku takie samo) czy bez (prawdopodobieństwo się zmienia)?
Typ 2: zadania z kartami – talia zamiast „magii”
Standardowa talia ma 52 karty:
4 kolory: trefl, karo, kier, pik,
w każdym kolorze 13 kart: 9 „liczbowych” (2–10) i 4 figury (J, Q, K, A).
Na maturze istotne jest, by szybko rozpoznawać, co jest „całym zbiorem”, a co „korzystnym”.
Najczęstsze motywy:
„figura”, „as”, „kartę czerwoną/czarną”,
„dokładnie jedna figura wśród trzech kart”,
„co najmniej dwa kiery” itp.
Losowanie jednej karty – szybkie proporcje
Przykładowe pytania mają postać:
„Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania figury”,
„Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania karty czerwonej z numerem parzystym”.
Droga jest prosta: liczysz liczbę kart spełniających warunek i dzielisz przez 52.
Przykład: P(„czerwona figura”) – czerwone kolory to kier i karo, w każdym 4 figury → 8 kart.
P = 8/52 = 2/13.
Losowanie kilku kart – kombinacje na autopilocie
Gdy losujesz kilka kart bez zwracania, konfiguracje wygodnie opisuje się kombinacjami.
Przykład: z talii 52 kart losujemy 4 karty. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 z nich to asy.
Wszystkie możliwe czterokartowe zbiory: C(52, 4).
Asów są 4, reszty – 48.
Korzystne zbiory: dokładnie 2 asy i 2 „nie asy”:
wybór 2 asów z 4: C(4, 2),
wybór 2 innych kart z 48: C(48, 2).
P = [C(4, 2)·C(48, 2)] / C(52, 4).
Na maturze często nie trzeba upraszczać ułamka – wystarczy poprawnie zbudowany wzór.
Typ 3: powtarzane doświadczenia (monety, kostki, testy)
Zadania z wielokrotnym powtarzaniem tego samego doświadczenia są bardzo schematyczne. Najczęściej:
wiele rzutów monetą (symetryczną lub nie),
wiele rzutów kostką,
wielokrotne wykonywanie testu (np. „urządzenie działa z prawdopodobieństwem 0,9”).
Klucz: jedno powtórzenie ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu p, a porażki q = 1 − p.
Dokładnie k sukcesów – model „kul i krzyżyków”
Przykład: rzucamy 5 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie 3 razy wypadnie orzeł.
Sukces: „wypadł orzeł” → p = 1/2, q = 1/2.
Musisz mieć 3 sukcesy i 2 porażki.
Kolejność sukcesów nie ma znaczenia → potrzebujesz liczby wszystkich „układów” z 3 O i 2 R:
to jest C(5, 3) (wybierasz, w których rzutach był orzeł).
P(jeden konkretny układ, np. OOROR) = (1/2)⁵.
P = C(5, 3)·(1/2)⁵.
To w praktyce wzór na prawdopodobieństwo w rozkładzie dwumianowym. Nie musisz go „znać na pamięć” – wystarczy rozumieć scenariusz: kombinacje × iloczyn p i q.
„Co najmniej” i „co najwyżej” w powtórzeniach
Gdy pojawia się „co najmniej”/„co najwyżej”, można sumować kilka wartości k lub skorzystać z dopełnienia.
Przykład: masz urządzenie, które działa poprawnie z prawdopodobieństwem 0,9 w jednym teście. Wykonujesz 4 testy. Oblicz prawdopodobieństwo, że urządzenie zadziała poprawnie w co najmniej trzech testach.
p = 0,9, q = 0,1.
Szukasz: P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4).
P(X = 3) = C(4, 3)·0,9³·0,1¹.
P(X = 4) = C(4, 4)·0,9⁴·0,1⁰ = 0,9⁴.
P = C(4, 3)·0,9³·0,1 + 0,9⁴.
Dla „co najwyżej jednego błędu” wygodniej jest użyć dopełnienia: 1 − P(2, 3, 4 błędy), albo 1 − P(0 błędów) − P(1 błąd) – w zależności, co prostsze do liczenia.
Typ 4: prawdopodobieństwo warunkowe w prostych zadaniach tekstowych
Pojawiają się konstrukcje typu „wiadomo, że…”, „pod warunkiem, że…”, „okazało się, że…”. Mechanizm:
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), zakładając, że P(B) ≠ 0.
Przykład: losowanie z pudełka z warunkiem
W pudełku jest 5 czerwonych i 3 niebieskie kulki. Losujesz jedną kulkę, ale nie pokazujesz jej nikomu. Wiadomo tylko, że wylosowana kulka jest czerwona. Teraz losujesz drugą kulkę bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że druga kulka też jest czerwona.
Opis wprost już implementuje warunek:
skoro pierwsza była czerwona, to w pudełku zostały 4 czerwone i 3 niebieskie,
całkowita liczba kulek po pierwszym losowaniu to 7.
P(druga czerwona | pierwsza czerwona) = 4/7.
Ten sam wynik uzyskasz z definicji P(A | B), ale w takich prostych przypadkach szybciej jest myśleć scenariuszowo.
Przykład: uczeń z klasy – proste drzewko i warunkowe
W klasie jest 10 chłopców i 15 dziewcząt. Wiadomo, że do odpowiedzi został wybrany uczeń, który nosi okulary. W klasie 4 chłopców i 3 dziewczyny mają okulary. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrany uczeń w okularach jest chłopcem.
Zdarzenie B – „uczeń w okularach”, zdarzenie A – „uczeń to chłopiec”.
Korzystnych par (chłopiec w okularach) jest 4, wszystkich w okularach – 4 + 3 = 7.
P(chłopiec | okulary) = 4/7.
Takie zadania często da się rozwiązać „na zdrowy rozsądek”: liczysz tylko w obrębie zdarzenia B („uczniowie w okularach”), a nie w całej klasie.
Typ 5: zadania mieszane – gdy trzeba połączyć kilka narzędzi
Niektóre zadania wymagają jednocześnie kombinatoryki, dopełnienia i prawdopodobieństwa warunkowego. Warto mieć prosty schemat postępowania.
Stały schemat: etapowe porządkowanie zadania
Gdy treść wydaje się „przeładowana”, rozbij ją na kroki:
Model – co losujemy, ile jest elementów, z jakimi cechami?
Zdarzenie – co dokładnie ma się stać? Zapisz je jednym zdaniem.
Metoda – drzewko, kombinacje, dopełnienie, czy zwykłe liczenie korzystnych wyników?
Wzór – zapisz prawdopodobieństwo nim zaczniesz liczyć liczbowo.
Przykład mieszany: co najmniej dwie dziewczyny i jeden chłopiec
W grupie jest 6 dziewcząt i 4 chłopców. Losujemy 3 osoby do reprezentowania szkoły na konkursie, ale jedna z nich musi znać język hiszpański. Wiedomo, że hiszpański znają 3 dziewczyny i 1 chłopiec. Oblicz prawdopodobieństwo, że w wylosowanej trójce będzie co najmniej dwóch uczniów znających hiszpański.
To zadanie łączy kilka idei, ale da się je spokojnie uporządkować.
Cała grupa ma 10 osób, w tym 4 znające hiszpański (3D + 1CH).
Trójka jest losowana spośród wszystkich 10 → wszystkich możliwych trójek: C(10, 3).
Szukane zdarzenie: „co najmniej 2 osoby z hiszpańskim” → 2 lub 3 osoby znające język.
Warto rozpisać oba przypadki osobno.
Przypadek 1: dokładnie 2 osoby znające hiszpański
wybór 2 osób znających hiszpański z 4: C(4, 2),
wybór 1 osoby bez hiszpańskiego z 6 pozostałych: C(6, 1),
liczba takich trójek: C(4, 2)·C(6, 1).
Przypadek 2: dokładnie 3 osoby znające hiszpański
wybór 3 osób z 4: C(4, 3),
liczba takich trójek: C(4, 3).
Łącznie:
korzystne = C(4, 2)·C(6, 1) + C(4, 3).
P = [C(4, 2)·C(6, 1) + C(4, 3)] / C(10, 3).
Zauważ, że nie trzeba osobno rozróżniać chłopców i dziewcząt – ważna jest tylko znajomość języka, bo to cecha, która definiuje zdarzenie.
Typowe pułapki: na czym najczęściej traci się punkty
W prawdopodobieństwie błędy są często „techniczne”, a nie koncepcyjne. Dobrze je znać z wyprzedzeniem.
Mieszanie „z zwracaniem” i „bez zwracania” – jeśli kula wraca do urny, licznik i mianownik pozostają te same w kolejnych krokach; bez zwracania – oba się zmieniają.
Dodawanie zamiast mnożenia (i odwrotnie) – sprawdzaj, czy mówisz o „albo” w jednym losowaniu, czy o „i” w kolejnych losowaniach.
Podwójne liczenie tych samych wyników – typowe przy łączeniu drzewek z kombinacjami lub przy niejasno opisanych przypadkach.
Zapominanie o wszystkich możliwościach – np. „co najmniej dwie” to nie tylko „dokładnie dwie”, ale też trzy, cztery itd.
Błędne zaokrąglanie wyników – jeśli zadanie prosi o dokładny wynik, zostawiasz ułamek lub wyrażenie z kombinacjami; gdy proszą o przybliżenie, zaokrąglasz zgodnie z poleceniem.
Jak trenować zadania z prawdopodobieństwa, żeby robić realny postęp
Zamiast rozwiązywać setki przykładów „na automacie”, lepiej przerobić mniejszą liczbę zadań, ale naprawdę je zrozumieć.
Po każdym zadaniu zadaj sobie pytanie: „gdyby zmienili tu liczby lub sformułowanie, czy dalej wiedziałbym, co robić?”.
Spróbuj zapisać to samo zadanie innymi słowami – wtedy szybko wychwycisz, co jest istotą problemu.
Przy zadaniach, w których pomyliłeś się o 1 w liczniku/mianowniku, prześledź dokładnie, w którym momencie model się „rozjechał” z treścią.
Po kilku takich sesjach większość maturalnych zadań z prawdopodobieństwa zaczyna wyglądać bardzo podobnie – zmieniają się tylko liczby i rekwizyty (kule, karty, uczniowie), a schemat rozwiązania zostaje ten sam.
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Jak zacząć naukę zadań z prawdopodobieństwa do matury?
Najlepiej zacząć od absolutnych podstaw: opanować definicję prawdopodobieństwa klasycznego (korzystne / wszystkie) oraz umieć rozpoznać, co jest wynikiem elementarnym w danym doświadczeniu losowym. Ćwicz na prostych przykładach z kostką, monetą, kulami czy kartami.
Kolejny krok to nauczyć się schematu czytania treści: zidentyfikować eksperyment losowy, wypisać wszystkie możliwe wyniki, określić zdarzenie A, wybrać model (drzewko, tabela, kombinacje) i dopiero wtedy liczyć. Gdy ten schemat stanie się nawykiem, trudniejsze zadania będą dużo prostsze.
Jakie typy zadań z prawdopodobieństwa najczęściej pojawiają się na maturze?
W arkuszach maturalnych regularnie pojawiają się podobne schematy zadań. Najczęściej są to:
losowania kul, kartek, kart do gry, uczniów – z zwracaniem lub bez zwracania,
rzuty kostką lub kilkoma kostkami, rzuty monetą,
zadania z testami jednokrotnego wyboru (zgadywanie odpowiedzi, wyniki egzaminów),
prawdopodobieństwo oparte na tabelach, wykresach i procentach (statystyka),
zadania mieszane: najpierw kombinatoryka, potem liczenie prawdopodobieństwa.
Warto dla każdego z tych typów wypracować schemat postępowania i przerobić po kilka–kilkanaście przykładów.
Jak unikać najczęstszych błędów w zadaniach z prawdopodobieństwa na maturze?
Kluczowe jest zawsze zbudowanie modelu losowania – nie licz „z głowy”. Narysuj drzewko, zrób tabelę albo opisz zbiór wyników. Dzięki temu nie pomylisz przypadków ani nie policzysz czegoś dwa razy. Zwracaj szczególną uwagę na sformułowania w treści: „co najmniej”, „dokładnie”, „nie więcej niż”, bo od nich zależy, które wyniki trafiają do licznika.
Pamiętaj też, by rozróżniać losowanie z zwracaniem i bez zwracania, poprawnie uwzględniać warunek w prawdopodobieństwie warunkowym oraz nie zaokrąglać zbyt wcześnie wyników pośrednich. Dobry nawyk: zawsze wypisz, co jest zdarzeniem A, jaki jest zbiór wszystkich wyników i które są korzystne.
Skąd mam wiedzieć, czy mogę użyć wzoru P(A) = korzystne / wszystkie?
Tego wzoru używasz, gdy wszystkie wyniki elementarne są jednakowo prawdopodobne (np. uczciwa kostka, moneta, losowo tasowana talia kart, losowanie kul z jednego woreczka). Wtedy liczysz liczbę wszystkich wyników oraz liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu A.
Jeśli w treści są podane konkretne prawdopodobieństwa (np. „prawdopodobieństwo odpowiedzi A wynosi 0,4”), albo kostka jest „fałszywa”, nie stosujesz wzoru korzystne/wszystkie. W takim wypadku opierasz się na podanych wartościach i wykonujesz na nich działania (dodawanie, mnożenie, dopełnienie), często korzystając z drzewka.
Jak rozwiązywać zadania z prawdopodobieństwem warunkowym na maturze?
W zadaniach maturalnych z prawdopodobieństwem warunkowym kluczowe jest potraktowanie podanego warunku jako „nowego świata”. Zdanie zaczynające się od „wiadomo, że…” lub „okazało się, że…” opisuje zbiór wyników, który staje się nowym „wszystkie możliwe”. Liczysz wtedy prawdopodobieństwo, uwzględniając tylko te sytuacje, które spełniają warunek.
Najwygodniej jest narysować drzewko losowania lub zrobić tabelę, a następnie wykreślić gałęzie/wpisy, które nie spełniają warunku. Na pozostałej części modelu liczysz już zwykłe prawdopodobieństwo (korzystne / wszystkie w tym nowym zbiorze).
Jak odróżnić losowanie z zwracaniem od bez zwracania i jak to wpływa na wynik?
W losowaniu z zwracaniem po każdym losowaniu „odkładasz” element z powrotem – liczba elementów w zbiorze się nie zmienia. Szanse w kolejnych krokach pozostają takie same, a często wygodnie jest liczyć prawdopodobieństwo przez mnożenie niezależnych zdarzeń (np. kilka rzutów kostką).
W losowaniu bez zwracania raz wylosowany element wypada ze zbioru, więc liczebność i prawdopodobieństwa się zmieniają. Wtedy w kolejnych krokach masz inne liczby w liczniku i mianowniku. To wpływa zarówno na budowę drzewka, jak i na liczenie kombinatoryczne (np. C(n,k) zamiast prostego potęgowania).
Jak szybko zdobyć „pewne punkty” z prawdopodobieństwa na maturze?
Najłatwiej zdobyć punkty na schematycznych zadaniach: rzut kostką lub dwiema kostkami (tabela 6×6), rzuty monetą, losowanie jednej karty z talii czy proste losowania kul. W takich zadaniach wystarczy poprawnie zbudować model (liczba wszystkich wyników, liczba korzystnych) i wprost zastosować definicję prawdopodobieństwa.
Dobrym pomysłem jest powtórzenie „typówek”: suma oczek na dwóch kostkach, „dokładnie k orłów w n rzutach”, losowanie jednej karty o zadanej własności. Te zadania często są punktami „za darmo”, jeśli masz przećwiczone kilka podobnych przykładów.
Najbardziej praktyczne wnioski
Zadania z prawdopodobieństwa na maturze sprawdzają przede wszystkim umiejętność przełożenia opisu słownego na język matematyki, rozpoznania typu prawdopodobieństwa i dobrania właściwego modelu.
Kluczem do sukcesu jest systematyczne budowanie modelu losowania: określenie eksperymentu, wyników elementarnych, szukanego zdarzenia oraz decyzja, czy użyć drzewa, tabeli czy kombinatoryki.
Najczęstsze błędy maturzystów to brak jasno opisanego modelu, mylenie losowania z i bez zwracania, błędne rozumienie zwrotów typu „co najmniej” i ignorowanie warunku w prawdopodobieństwie warunkowym.
Praktyczny nawyk minimalizujący pomyłki to zawsze wypisanie: co jest zdarzeniem, jaki jest zbiór wszystkich możliwych wyników oraz które wyniki są korzystne.
Większość zadań maturalnych opiera się na kilku powtarzalnych schematach (kule, karty, kostki, testy, proste zadania warunkowe, połączenie z kombinatoryką) – warto do każdego typu zbudować schemat postępowania i go wyćwiczyć.
Definicja prawdopodobieństwa klasycznego (korzystne/wszystkie przy równych szansach) jest fundamentem; gdy w treści pojawiają się konkretne prawdopodobieństwa lub „fałszywa” kostka, należy zamiast niej stosować działania na podanych wartościach.
Świadome sprawdzanie, czy wyniki są równoprawdopodobne oraz unikanie zbyt wczesnego zaokrąglania to proste kroki, które znacząco zwiększają szansę na poprawne rozwiązanie zadań.
