Kombinatoryka na rozszerzeniu: jak liczyć szybko i poprawnie

Czym jest kombinatoryka na rozszerzeniu i za co są punkty

Dlaczego zadania kombinatoryczne sprawiają tyle kłopotu

Kombinatoryka na maturze rozszerzonej z matematyki często uchodzi za jeden z bardziej „podstępnych” działów. Zadania bywają krótkie, ale treść jest gęsta od warunków: „co najmniej”, „co najwyżej”, „różne”, „nieodróżnialne”, „ustawienia w kole”, „bez powtórzeń”. To wszystko sprawia, że problem leży rzadko w samym liczeniu, a prawie zawsze w dobrze zbudowanym modelu.

Uczeń, który świetnie radzi sobie z rachunkiem prawdopodobieństwa czy analizą, potrafi utknąć na prostym zadaniu typu „Na ile sposobów można rozdać…”. Dzieje się tak, bo kombinatoryka wymaga:

• uważnego czytania treści i wyłapania każdego ograniczenia,
• odróżniania wariantów: z powtórzeniami / bez powtórzeń, kolejność istotna / nieistotna,
• szybkiego przełączania się między różnymi modelami (wariacje, permutacje, kombinacje),
• korzystania z zasad ogólnych: zliczanie przez dopełnienie, zasada włączania-wyłączania, podział na przypadki.

Klucz do szybkiego i poprawnego liczenia leży w tym, by zautomatyzować rozpoznawanie typu zadania. Im mniej czasu tracisz na zastanawianie się „czy to będzie kombinacja czy permutacja?”, tym więcej czasu zostaje na szczegóły wymagań i poprawne dokończenie obliczeń.

Za co egzaminator przyznaje punkty

Na maturze rozszerzonej punkty w zadaniach kombinatorycznych przyznaje się głównie za trzy elementy:

1. Poprawny model – czyli rozpoznanie, co właściwie liczysz (np. wariacje bez powtórzeń, kombinacje z powtórzeniami, podziały na grupy).
2. Logiczne rozbicie na przypadki – jeśli trzeba uwzględnić różne sytuacje, trzeba je jasno opisać (zwykle słownie lub schematem, rzadziej rysunkiem).
3. Poprawne obliczenia – sprawne operowanie symbolami n!, C(n,k), V, P, a także redukcja ułamków i sensowna postać wyniku.

Często utracone punkty biorą się nie z nieznajomości wzorów, ale z:

• podwójnego liczenia tych samych możliwości (np. traktowania dwóch identycznych ustawień jako różnych),
• pominięcia jakiegoś warunku („co najwyżej”, „różne osoby”, „pod warunkiem, że…”),
• przekombinowania – zbyt skomplikowanego modelu tam, gdzie wystarczy proste liczenie na drzewie lub tabelce.

Jakie typy zadań pojawiają się najczęściej

W arkuszach maturalnych i w zbiorach zadań powtarzają się określone schematy. Dobrze jest mieć je w głowie jako mini-katalog:

• liczenie liczby wariantów (układanie osób, liczb, liter, szyfrów),
• tworzenie zdań, kodów, numerów o określonych własnościach (np. „bez powtarzania cyfr”, „dokładnie dwie spółgłoski”),
• losowania z urny, talii kart, zbioru uczniów, książek itp.,
• podziały na grupy – komitety, drużyny, pary, ławki, dyżury,
• zadania z rachunku prawdopodobieństwa oparte na zliczaniu przypadków łącznych i sprzyjających,
• rozmieszczenia z dodatkowymi warunkami (obok siebie, nie obok siebie, w rogach, przy oknie, w kole).

Im częściej rozwiązujesz takie zadania, tym wyraźniej widzisz, który wzór lub metoda „prosi się”, żeby ją zastosować. To właśnie przełączenie z „kombinatoryka to magia” na „kombinatoryka to kilka zgrabnych schematów”.

Fundamenty: permutacje, wariacje, kombinacje – bez bezmyślnego wkuwania

Permutacje – gdy liczy się kolejność wszystkich elementów

Permutacja to ustawienie wszystkich elementów zbioru w określonej kolejności, bez powtórzeń. Jeżeli masz n różnych elementów, to liczba wszystkich możliwych ich uporządkowań wynosi:

P(n) = n!

Typowy schemat zadania: „Ile jest możliwych ustawień w szeregu 8 uczniów?”. Odpowiedź: P(8) = 8!.

Permutacje z powtórzeniami

Jeśli wśród elementów są powtarzające się (np. litery w wyrazie „MAMA”), to zwykłe n! zawyża wynik, bo traktuje identyczne elementy jako różne. Wtedy używa się wzoru:

P = (dfrac{n!}{n_1! cdot n_2! cdot dots cdot n_k!})

gdzie n – liczba wszystkich elementów, a n₁, n₂, …, nₖ – liczności identycznych grup.

Przykład: wyraz „STATYSTYKA” ma 10 liter, wśród nich powtórzenia: S – 2, T – 3, A – 2, Y – 1, K – 1. Liczba różnych anagramów:

(dfrac{10!}{2! cdot 3! cdot 2!})

Permutacje z warunkami

Na rozszerzeniu rzadko chodzi o „czyste” n!. Częściej pojawia się np.:

• „Ile jest ustawień, w których A jest na pierwszym miejscu?”
• „Ile jest ustawień, w których B i C stoją obok siebie?”
• „Ile jest ustawień, w których D nie stoi na końcu?”

Typowe techniki:

• zablokowanie pozycji (np. A na początku – ustawiamy resztę),
• traktowanie kilku elementów jako „paczki” (np. B i C obok siebie – traktujemy je jako jeden blok, a w nim dodatkowo permutujemy B i C),
• liczenie przez dopełnienie – policz wszystkie permutacje i odejmij te, które łamią warunek (np. takie, w których D jest na końcu).

Wariacje – gdy kolejność ma znaczenie, ale nie używamy wszystkich elementów

Wariacje bez powtórzeń – wybieramy k elementów z n różnych, ustawiamy je w kolejności, nie powtarzamy elementów. Wzór:

V(n,k) = (dfrac{n!}{(n-k)!})

Przykład: z 10 uczniów wybierasz przewodniczącego, zastępcę i skarbnika. Kolejność ma znaczenie (inna funkcja to inny wynik), nie można pełnić dwóch funkcji naraz. Wynik: V(10,3).

Wariacje z powtórzeniami

Wariacje z powtórzeniami – wybieramy k elementów z n, kolejność ma znaczenie, ale możemy powtarzać elementy. Wzór:

V’(n,k) = n^k

To jest schemat większości zadań o szyfrach i kodach:

• „Ile jest możliwych pięcioznakowych kodów z cyfr 0–9?” – 10⁵,
• „Ile jest możliwych rejestracji składających się z 3 liter i 3 cyfr?” – licz osobno część literową i cyfrową, a potem pomnóż.

Kombinacje – gdy kolejność nie ma znaczenia

Kombinacje bez powtórzeń – wybieramy k elementów z n, kolejność nie ma znaczenia, bez powtórzeń. Klasyczne „ile jest możliwych k-osobowych drużyn z n osób”. Wzór:

C(n,k) = (dfrac{n!}{k! (n-k)!})

Przykład: „Ile jest możliwych trzyosobowych komitetów z 12 osób?” – C(12,3).

Kombinacje z powtórzeniami

Kombinacje z powtórzeniami – rzadziej wprost na maturze, częściej ukryte np. w zadaniach o rozdzielaniu jednakowych cukierków do różnych dzieci. Wzór dla liczby kombinacji z powtórzeniami k-elementowych z n-elementowego zbioru:

C’(n,k) = C(n+k-1, k)

Model: rozdzielanie nieodróżnialnych obiektów (cukierków, punktów, nagród) do odróżnialnych osób/pudełek.

Jak szybko rozpoznawać, czego użyć

Zamiast uczyć się na pamięć, kiedy „jest kombinacja”, a kiedy „wariacja”, dobrze działa mała „checklista”:

1. Czy elementy się powtarzają? Jeśli tak – sprawdź, czy to wariacje/perm z powtórzeniami, albo kombinacje z powtórzeniami.
2. Czy używasz wszystkich elementów? Jeśli tak – permutacja; jeśli nie – wariacja lub kombinacja.
3. Czy kolejność ma znaczenie? Jeśli tak – wariacje lub permutacje; jeśli nie – kombinacje.
4. Czy elementy są odróżnialne? Jeśli nie – możliwe, że potrzebny jest model z kombinacjami z powtórzeniami lub permutacjami z powtórzeniami.

Na maturze czasem bardziej opłaca się policzyć konkretne przypadki „z głowy” niż na siłę wciskać zadanie w schemat C(n,k). Klucz leży w tym, żeby wybrać najprostszy poprawny model, a nie „najbardziej wzorowy”.

Dwie zasady, które ratują większość zadań: mnożenie i dodawanie

Zasada mnożenia – etap po etapie

Zasada mnożenia (iloczynu) mówi: jeśli proces składa się z kilku niezależnych etapów, a:

• pierwszy etap można wykonać na a sposobów,
• drugi etap na b sposobów,
• trzeci na c sposobów,

to cały proces można zrealizować na a·b·c sposobów.

Prosty przykład: tworzymy hasło składające się z 2 liter (A, B, C) i 3 cyfr (0–9), z powtórzeniami. Dla liter: 3·3, dla cyfr: 10·10·10. Łącznie: 3²·10³.

Jak sprawnie rozbijać zadanie na etapy

Najwięcej problemów pojawia się wtedy, gdy etapy nie są niezależne, np. „bez powtórzeń”. Trzeba wtedy zachować uważność:

• krok 1: wybieram pierwszą cyfrę – 10 możliwości,
• krok 2: wybieram drugą cyfrę – 9 możliwości, bo jedna jest już zajęta,
• krok 3: wybieram trzecią – 8 możliwości, itd.

Taki „schodzący iloczyn” pojawia się właściwie w każdym zadaniu typu „numer bez powtarzających się cyfr”, „ustawienia bez powtórzeń”.

Zasada dodawania – przypadki wzajemnie rozłączne

Zasada dodawania (sumy) jest równie ważna: jeśli zdarzenie może zajść albo w sposób A, albo w sposób B, i te sposoby się nie pokrywają (nie liczymy niczego dwa razy), to łączna liczba przypadków to suma:

liczba = liczba(A) + liczba(B) (+ liczba(C) + …)

Przykład: losujemy trzycyfrowy numer, w którym:

• pierwsza cyfra jest nieparzysta,
• a w numerze jest dokładnie jedna cyfra 0.

Wygodnie jest rozbić to na przypadki: 0 jest na drugim miejscu albo 0 jest na trzecim miejscu. Dla każdego przypadku liczymy osobno, a potem dodajemy wyniki – właśnie tu pracuje zasada dodawania.

Typowe błędy przy stosowaniu zasad sumy i iloczynu

Kilka pułapek, które często pojawiają się na maturze:

• Mieszanie sumy i iloczynu – próba mnożenia liczby przypadków, które należało dodać (lub odwrotnie).
• Brak rozłączności – liczenie tego samego przypadku w dwóch różnych kategoriach. Np. „dokładnie jedna litera A lub przynajmniej dwie litery B” – w obu zbiorach może znaleźć się to samo słowo.
• Niepełne pokrycie przestrzeni – przypadki nie obejmują wszystkich możliwości (np. rozbicie na „co najmniej dwa” i „co najwyżej trzy”, ale gdzieś gubi się liczba cztery).

Dobrym nawykiem przed wprowadzeniem dodawania lub mnożenia jest krótkie, słowne sprawdzenie: „Czy te przypadki się nie nachodzą?” oraz „Czy obejmuję wszystkie możliwości, które spełniają warunki?”.

Kombinatoryka w zadaniach z prawdopodobieństwa na rozszerzeniu

Prawdopodobieństwo jako iloraz liczby przypadków

Na poziomie rozszerzonym rachunek prawdopodobieństwa bardzo często sprowadza się do kombinatoryki. W klasycznym modelu, gdy wszystkie elementarne wyniki są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwo zdarzenia A liczy się jako:

Model klasyczny: liczymy korzystne i wszystkie

Jeśli każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo możliwy, używa się wzoru:

P(A) = (dfrac{text{liczba wyników sprzyjających A}}{text{liczba wszystkich możliwych wyników}})

Na dole ułamka: wszystko, co może się zdarzyć (przestrzeń możliwości). Na górze: tylko te przypadki, które spełniają warunek w zadaniu. Obie liczby zwykle liczy się kombinatorycznie: permutacjami, wariacjami, kombinacjami albo zasadą sumy/mnożenia.

Przykład w pigułce: z talii 52 kart losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie będą pikami?

• wszystkie możliwe 5-elementowe układy kart (kolejność bez znaczenia): C(52,5),
• układy korzystne – 5 pików z 13 dostępnych: C(13,5).

Prawdopodobieństwo: P = (dfrac{C(13,5)}{C(52,5)}).

Jak dobrać właściwy licznik i mianownik

Kłopot pojawia się, gdy licznik liczymy „jakoś” (np. kombinacją), a mianownik „inaczej” (np. permutacją), mimo że oba opisują to samo losowanie. Trzeba zadbać, by:

• mianownik był policzony dokładnie w tym modelu, który najlepiej oddaje doświadczenie,
• licznik używał tego samego modelu (kolejność tak samo ważna/obojętna jak w mianowniku).

Jeśli losujesz karty „naraz”, bez kolejności – w obu miejscach pracują zazwyczaj kombinacje. Jeśli rozpatrujesz kod cyfrowy „cyfra po cyfrze” – zwykle rozkładasz zadanie na etapy i korzystasz z iloczynu, a nie z C(n,k).

Ten sam wynik innymi drogami

Czasem to samo prawdopodobieństwo da się zapisać na kilka sposobów. Warto ocenić, który jest najprostszy rachunkowo:

• przez kombinacje: (dfrac{C(13,5)}{C(52,5)}),
• przez „krok po kroku”: (dfrac{13}{52} cdot dfrac{12}{51} cdot dfrac{11}{50} cdot dfrac{10}{49} cdot dfrac{9}{48}).

To są dwa opisy tej samej sytuacji: losowanie bez zwracania. W arkuszu często jeden wariant upraszcza się o wiele szybciej.

Unikanie podwójnego liczenia przy zdarzeniach złożonych

Zdarzenia typu „A lub B” lub „co najmniej jedno spełnia warunek” wymagają szczególnej ostrożności. Surowe dodawanie P(A) + P(B) rzadko jest poprawne, bo przypadki wspólne A∩B liczą się wtedy podwójnie.

Bezpieczniejszy wzór:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Najczęściej wygodniej jest od razu liczyć liczby przypadków:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Przykład: losujemy trzyosobowy zespół z 10 uczniów, wśród których jest Anna i Bartek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wylosowanym zespole będzie przynajmniej jedno z nich?

• wszystkie zespoły: C(10,3),
• A – zespół z Anną,
• B – zespół z Bartkiem.

Zespoły z Anną: C(9,2) (Anna + dwóch z pozostałych 9). Z Bartkiem: C(9,2). Zespół z Anną i Bartkiem: C(8,1) (Anna, Bartek + jedna z pozostałych 8 osób).

Liczba korzystnych: C(9,2) + C(9,2) − C(8,1), potem dzielimy przez C(10,3). Kombinatoryka załatwia tu całą robotę.

Rachunek dopełnień: szybki sposób na „co najmniej” i „co najwyżej”

Gdy warunek brzmi: „co najmniej raz”, „przynajmniej jedna”, „nie mniej niż…”, liczenie bezpośrednio wszystkich możliwości bywa męczące. Bardzo skuteczny jest rachunek dopełnień:

P(A) = 1 − P(Aᶜ)

Zamiast liczyć wszystkie skomplikowane przypadki „spełniające warunek”, liczy się zwykle jedną prostą sytuację przeciwstawną.

Przykład: losujemy 4 cyfry z powtórzeniami (kod), z cyfr 0–9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w kodzie wystąpi przynajmniej jedna cyfra 7?

• wszystkie kody: 10⁴,
• dopełnienie: „ani jednej 7” – każdą pozycję można zapełnić 9 cyframi (bez 7) → 9⁴.

Prawdopodobieństwo: P = 1 − (dfrac{9^4}{10^4}).

Ten schemat (najpierw wszystkie możliwości, potem odejmowanie zakazanych) to dokładnie ta sama technika, która pojawiała się wcześniej przy permutacjach z warunkami.

Łączenie kombinatoryki z rachunkiem prawdopodobieństwa warunkowego

Definicja prawdopodobieństwa warunkowego

Jeśli wiadomo, że zaszło zdarzenie B, to prawdopodobieństwo zdarzenia A „w tych warunkach” to:

P(A|B) = (dfrac{P(A ∩ B)}{P(B)})

W modelu kombinatorycznym sprowadza się to do:

• liczenia liczby przypadków, w których zachodzi jednocześnie A i B,
• podzielenia przez liczbę przypadków, które spełniają warunek B.

W praktyce B „obcina” nam przestrzeń wszystkich wyników – od tego momentu liczymy tylko na niej.

Przykład: losowanie kart z informacją dodatkową

Z talii 52 kart losujemy 2 karty jednocześnie. Wiadomo, że wylosowano co najmniej jednego asa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród kart są dokładnie dwa asy?

Rozpisanie krok po kroku:

• B: „co najmniej jeden as wśród dwóch kart”,
• A: „dokładnie dwa asy wśród dwóch kart”.

Najpierw P(B). Można to zrobić przez dopełnienie:

• wszystkie dwukarty: C(52,2),
• bez asa – wszystkie z 48 nie-asów: C(48,2).

Zatem:

|B| = C(52,2) − C(48,2)

A∩B to sytuacja, gdy mamy dokładnie dwa asy – jest to z automatu przypadek z „co najmniej jednym asem”. Liczymy:

• dokładnie dwa asy: wybór 2 asów z 4 dostępnych → C(4,2).

Czyli:

|A ∩ B| = C(4,2)

Prawdopodobieństwo warunkowe:

P(A|B) = (dfrac{C(4,2)}{C(52,2) − C(48,2)})

Warto zwrócić uwagę, że nie trzeba już dzielić przez C(52,2), bo liczymy „wewnątrz” warunku B. Całą geometrię zadania obsługują kombinacje i rachunek dopełnień.

Typowy schemat: „wiadomo, że…”, „pod warunkiem, że…”

W zadaniach z treścią pojawiają się zwroty:

• „Wiadomo, że wśród wylosowanych jest przynajmniej jeden chłopiec…”,
• „Pod warunkiem, że suma wylosowanych oczek jest parzysta…”,
• „Zakładając, że w klasie zdały wszystkie dziewczyny…”

Strategia układa się zwykle w trzy kroki:

1. Dokładnie spisać, co jest B (warunek) i co jest A (zdarzenie, o które pytają).
2. Policzyć |B| – czasem bezpośrednio, często przez dopełnienie do wszystkich przypadków.
3. Policzyć |A ∩ B| – tak, jakby oba warunki były na raz w treści zadania.

Dopiero na końcu używa się wzoru P(A|B) = |A ∩ B| / |B|. Jeśli ten etap jest poprzedzony poprawnym modelem kombinatorycznym, trudna część zadania jest w zasadzie zrobiona.

Jak upraszczać obliczenia kombinatoryczne

Sprytne skracanie silni i symbolu Newtona

Na maturze nie chodzi o rozwijanie 12! czy C(20,10) w ogromne liczby, tylko o maksymalne skrócenie ułamków. Kilka prostych trików oszczędza masę czasu:

• przy symbolu Newtona rozwijaj tylko część, która się nie skróci – np.
  
  C(10,3) = (dfrac{10·9·8}{3·2·1}) – nie ma sensu przepisywać 10!,
• szukaj wspólnych fragmentów w liczniku i mianowniku – np.
  
  (dfrac{C(13,5)}{C(52,5)} = dfrac{frac{13·12·11·10·9}{5!}}{frac{52·51·50·49·48}{5!}}) – 5! od razu się skróci,
• często wygodniej zostawić wynik w postaci ułamka z C(n,k), jeśli zadanie nie wymaga postaci dziesiętnej.

Silnia to też po prostu iloczyn, więc można ją ciąć:

(dfrac{10!}{7!} = 10·9·8) – wszystko od 7 w dół znika.

Korzystanie z symetrii i tożsamości kombinatorycznych

Proste własności symbolu Newtona pozwalają szybko upraszczać odpowiedzi i rachunki „na boku”:

• C(n,k) = C(n, n−k) – wybranie 3 osób z 10 to to samo co wykluczenie 7 z 10,
• C(n,0) = C(n,n) = 1 – jedyny sposób, by „nic nie wybrać” albo wybrać „wszystko”,
• C(n,1) = C(n,n−1) = n – wybór jednej osoby lub jednej „brakującej”.

W zadaniach z liczeniem prawdopodobieństwa „co najmniej k” rzeczywiście bywa wygodniej liczyć „co najwyżej n−k” dzięki tej symetrii.

Redukcja wymiaru zadania

W wielu tekstowych przykładach da się „wyciąć” część, która niczego nie zmienia w sposobie liczenia. Dwa typowe chwyty:

• pomijanie elementów neutralnych – jeśli w losowaniu zawsze bierzemy wszystkich nauczycieli, a reszta to uczniowie, to w rachunkach wybierasz tylko uczniów,
• stosowanie schematu „grupy” – zamiast 20 konkretnych osób dzielisz je na grupy „A”, „B”, „C”, każdą z przypisaną liczebnością, a resztę prowadzisz wyłącznie na tych liczbach.

Przykład: „W klasie jest 12 dziewczyn i 8 chłopców. Tworzymy 5-osobową grupę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą w niej dokładnie 3 dziewczyny?”

• wszystkie grupy: C(20,5),
• korzystne: 3 dziewczyny i 2 chłopców → C(12,3)·C(8,2).

Nie ma potrzeby opisywać imion ani numerów z dziennika – całe zadanie rozgrywa się na poziomie dwóch liczb: 12 i 8.

Schematy zadań kombinatorycznych typowych dla rozszerzenia

Lista wartościująca zadania: od razu szukaj wzorca

Wiele zadań, mimo różnej otoczki słownej, sprowadza się do kilku szablonów. Szybkie rozpoznanie wzorca skraca drogę do wyniku.

• „Ustawianie w szeregu z warunkami” – permutacje, bloki, dopełnienia.
• „Tworzenie kodów/numerów” – wariacje z powtórzeniami, czasem bez, zasada iloczynu.
• „Tworzenie drużyn/komisji” – kombinacje, często z ograniczeniami typu „co najmniej 2 dziewczyny”.
• „Rozdział obiektów” – kombinacje z powtórzeniami lub równoważne im układy „gwiazd i kresek”.
• „Prawdopodobieństwo kartowe/kostkowe” – model klasyczny, często ze zdarzeniami złożonymi i dopełnieniami.

Grupowanie i rozdzielanie – „gwiazdy i kreski” w praktyce

Choć na arkuszu rzadko nazywa się to wprost, zadania o rozdzielaniu identycznych przedmiotów do różnych pudełek są klasycznym przykładem kombinacji z powtórzeniami.

Przykład: w sklepie jest 5 rodzajów bułek. Klient kupuje 8 bułek, rodzaj każdej może się powtarzać. Ile jest różnych „zestawów zakupów”?

• 5 rodzajów = 5 „pudełek”,
• 8 jednakowych bułek = 8 „gwiazdek”.

Model „gwiazd i kresek” krok po kroku

Klasyczny trik polega na zamianie rozdzielania identycznych przedmiotów na układanie ciągu złożonego z gwiazdek i kresek. Kresek jest zawsze o 1 mniej niż pudełek, gwiazdek – tyle, ile przedmiotów.

W przykładzie z bułkami:

• 8 bułek → 8 gwiazdek „*”,
• 5 rodzajów → 4 kreski „|” jako granice między rodzajami.

Każdy możliwy rozdział odpowiada unikalnemu ciągowi 8 gwiazdek i 4 kresek w jednym rzędzie. Na przykład:

**|***||***

może oznaczać: 2 bułki pierwszego rodzaju, 3 drugiego, 0 trzeciego, 3 czwartego, 0 piątego.

Liczba wszystkich ciągów to liczba sposobów wybrania miejsc na gwiazdki (lub na kreski) w 12 pozycjach:

C(12,8) = C(12,4)

Ogólny wzór dla rozdziału n jednakowych obiektów do k pudełek (puste pudełka dozwolone) to:

C(n + k − 1, k − 1)

Rozdział z ograniczeniami dolnymi

Częsty wariant: każde „pudełko” ma dostać co najmniej jedną rzecz. Wtedy najpierw przydziela się minimum, a dopiero resztę rozdziela się swobodnie.

Przykład: 10 jednakowych cukierków rozdzielamy między 4 dzieci tak, aby każde dostało przynajmniej 2 cukierki. Ile jest możliwości?

• najpierw „gwarantujemy” minimum: każde dziecko dostaje 2 → zużywamy 8 cukierków,
• zostaje 2 cukierki do swobodnego rozdziału,
• teraz każde dziecko może dostać od 0 w górę – klasyczne „gwiazdy i kreski” dla n = 2, k = 4.

Liczba sposobów:

C(2 + 4 − 1, 4 − 1) = C(5,3)

Ogólny schemat: jeśli każdy z k odbiorców ma dostać co najmniej m przedmiotów, to:

• najpierw rozdajemy pewne mk sztuk (po m każdemu),
• potem rozdzielamy pozostałe n − mk bez ograniczeń,
• liczba rozdziałów: C(n − mk + k − 1, k − 1) (o ile n ≥ mk).

Rozdział dyskretny a równania w liczbach naturalnych

Rozdzielanie identycznych przedmiotów między pudełka jest równoważne liczeniu rozwiązań prostych równań w liczbach naturalnych.

Przykład: ile jest rozwiązań w liczbach naturalnych (wliczając 0):

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 8?

Każda czwórka (x₁, x₂, x₃, x₄) opisuje rozdział 8 identycznych rzeczy na 4 „kupki”. To dokładnie ten sam model, co wcześniej:

C(8 + 4 − 1, 4 − 1) = C(11,3)

Jeśli w zadaniu pojawia się warunek typu „xᵢ ≥ 2”, robi się to samo, co przy dzieciach i cukierkach: podstawienie yᵢ = xᵢ − 2 i redukcja do przypadku z dolnym ograniczeniem 0.

Łączenie kilku technik w jednym zadaniu

Mieszanie permutacji, kombinacji i dopełnień

W zadaniach olimpijskich czy w trudniejszych maturach próbnych często nie wystarczy jeden wzór. Typowy zestaw to:

• permutacje z warunkami (np. litery, osoby w szeregu),
• kombinacje (wybór podzbioru),
• rachunek dopełnień lub warunkowy przy liczeniu prawdopodobieństwa.

Przykład konstrukcyjny:

Z 10 uczniów (6 dziewczyn, 4 chłopców) losujemy 4-osobową grupę, a następnie ustawiamy ją w szeregu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

• w grupie są dokładnie 2 dziewczyny,
• a po ustawieniu w szeregu dziewczyny stoją obok siebie?

Można policzyć krok po kroku:

1. wszystkie wyniki (grupa + ustawienie): najpierw wybór 4 osób z 10, potem ich permutacja:
   
   C(10,4) · 4!,
2. zdarzenia korzystne:
   • wybór 2 dziewczyn z 6 i 2 chłopców z 4: C(6,2)·C(4,2),
   • ustawienie 4 osób w szeregu tak, by 2 konkretne dziewczyny stały obok siebie:
     • traktujemy dziewczyny jako jeden blok → mamy blok + 2 chłopców: 3 elementy,
     • permutacje tych 3 elementów: 3!,
     • w środku bloku dziewczyny mogą zamienić się miejscami: 2!.

     W sumie: 3!·2!.

3. liczba korzystnych wyników:
   
   C(6,2)·C(4,2)·3!·2!,
4. prawdopodobieństwo:
   
   P = (dfrac{C(6,2)·C(4,2)·3!·2!}{C(10,4)·4!}).

Dalsze upraszczanie to już tylko skracanie symboli Newtona i silni.

Najpierw konstrukcja, potem prawdopodobieństwo

Uproszczony schemat dla większości zadań:

1. Najpierw policz liczbę wyników (cała przestrzeń Ω).
2. Potem policz liczbę wyników sprzyjających danemu zdarzeniu.
3. Dopiero na końcu dziel: P = |A| / |Ω| (lub P(A|B) = |A ∩ B| / |B|).

Rozbijanie zadania na te trzy etapy pomaga uniknąć mieszania wzorów i mylenia „ile sposobów” z „jakie prawdopodobieństwo”.

Zadania z parametrem i równaniami w tle

Prawdopodobieństwo jako funkcja parametru

Na rozszerzeniu pojawiają się zadania, w których prawdopodobieństwo zależy od jakiejś liczby n i trzeba:

• podać ogólny wzór na P(n),
• lub dobrać n tak, by P(n) spełniało jakiś warunek (np. było większe od 1/2).

Przykład schematyczny:

Dany jest ciąg liczb 1, 2, …, n. Losujemy z niego jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie podzielna przez 3.

Model:

• wszystkich liczb: n,
• liczb podzielnych przez 3: ⌊n/3⌋ (największa wielokrotność 3 nieprzekraczająca n).

Stąd:

P(n) = (dfrac{lfloor n/3 rfloor}{n})

Jeśli dodatkowo trzeba rozwiązać nierówność typu P(n) > 1/2, powstaje nierówność z funkcją podłogi, którą rozbija się na przedziały (np. osobno dla n = 3k, 3k+1, 3k+2).

Kombinatoryka w zadaniach z nierównościami

Czasem parametr nie jest wprost „liczbą przedmiotów”, ale pojawia się we wzorze na prawdopodobieństwo, który trzeba zinterpretować.

Przykład szablonu:

Z 2n elementów losujemy n-elementowy podzbiór. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pewien wyróżniony element znajdzie się wylosowanej grupie?

Tutaj:

• wszystkich grup: C(2n, n),
• sprzyjające: w każdej grupie, która zawiera wyróżniony element, trzeba:
  • zarezerwować to miejsce dla wyróżnionego elementu,
  • resztę n−1 miejsc uzupełnić dowolnymi elementami spośród pozostałych 2n−1.

  Liczba sprzyjających: C(2n−1, n−1).

Prawdopodobieństwo:

P(n) = (dfrac{C(2n−1, n−1)}{C(2n, n)})

Po skróceniu:

[
P(n) = frac{C(2n−1, n−1)}{C(2n, n)}
= frac{frac{(2n−1)!}{(n−1)!(n)!}}{frac{(2n)!}{n!n!}}
= frac{(2n−1)!}{(n−1)!n!} · frac{n!n!}{(2n)!}
= frac{n}{2n} = frac{1}{2}.
]

Czyli niezależnie od n prawdopodobieństwo wynosi 1/2. Taki wynik pojawia się w wielu zadaniach; skracanie symboli Newtona prowadzi często do prostej liczby wymiernej.

Rozpoznawanie pozornie trudnych zadań tekstowych

Przekład historii na liczby

Największy problem nie leży zwykle w rachunkach, lecz w tłumaczeniu opisu na dobrze zdefiniowany model. Kilka pytań pomocniczych przy pierwszym czytaniu:

• co jest przestrzenią wyników (wszystkie możliwe „światy”)?
• czy elementy są rozróżnialne (osoby, karty), czy nieodróżnialne (bułki jednego rodzaju)?
• czy kolejność ma znaczenie? (ustawienia, kody – tak; grupy, komisje – nie)
• jakie są warunki dodatkowe („przynajmniej”, „dokładnie”, „nie obok siebie”)?

Po odpowiedzi na te pytania łatwo wskazać odpowiednią „szufladkę”: permutacje, kombinacje (z lub bez powtórzeń), wariacje, gwiazdy i kreski, prawdopodobieństwo klasyczne czy warunkowe.

Częste pułapki interpretacyjne

Kilka mechanicznych błędów, które pojawiają się nawet u dobrze przygotowanych uczniów:

• podwójne liczenie – np. liczenie ustawień, gdy zadanie mówi tylko o doborze osób do komisji,
• mylenie „co najmniej” z „dokładnie” – zwłaszcza w warunkach (B) przy prawdopodobieństwie warunkowym,
• ignorowanie nieodróżnialności – traktowanie identycznych przedmiotów jak różnych,
• mieszanie modeli losowania z i bez zwracania – przy losowaniach wieloetapowych.

Dobrze działa szybka „kontrola zdrowego rozsądku”: czy wynik liczbowy jest w zasięgu (prawdopodobieństwo między 0 a 1, liczba kombinacji nieujemna) i czy rośnie/spada logicznie po zmianie parametru.

Trening szybkości: kombinatoryka „na automacie”

Ustalony schemat rozwiązywania

Przy pracy z arkuszami pomaga wyrobić sobie stałą procedurę:

1. Krótka parafraza zadania „pod siebie” – 1–2 zdania o tym, co losujemy i jakie jest pytanie.
2. Wskazanie modelu: permutacje? kombinacje? wariacje? gwiazdy i kreski?
3. Obliczenie liczby wszystkich wyników.
4. Obliczenie liczby wyników korzystnych (z warunkami, dopełnieniami, blokami, jak trzeba).
5. Dopiero wtedy zapis wzoru na P, ewentualne uproszczenie.

Po kilkunastu zadaniach z każdego typu te kroki zaczynają wchodzić w nawyk. To one decydują o tempie, nie sam rachunek symbolu Newtona.

Jak samodzielnie generować zadania do ćwiczeń

Zamiast szukać nieskończonej liczby arkuszy, można samemu modyfikować proste schematy:

• zmiana liczby osób w klasie przy stałym warunku (np. zawsze 2 dziewczyny i 3 chłopców w komisji),
• dodawanie prostego ograniczenia („co najmniej jeden nauczyciel”, „dokładnie dwóch graczy z drużyny A”),
• przerabianie zadania „policz liczbę” na zadanie „policz prawdopodobieństwo” lub odwrotnie.

Ten sam wzorzec konstrukcji można przerobić na kilka wariantów, zmieniając tylko liczby i warunek. Dzięki temu zamiast uczyć się na pamięć rozwiązań, trenuje się rozpoznawanie schematów.

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Co to jest kombinatoryka na maturze rozszerzonej i czego ode mnie wymagają?

Kombinatoryka na rozszerzeniu to dział zajmujący się liczeniem liczby możliwych ustawień, wyborów, podziałów czy losowań elementów przy różnych warunkach. Pojawia się zarówno w zadaniach „na sucho” (ile jest możliwości…), jak i w zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa.

Od zdającego wymaga się umiejętności rozpoznawania typu zadania (permutacje, wariacje, kombinacje – z lub bez powtórzeń), poprawnego zapisu modelu oraz sprawnego wykonywania obliczeń z użyciem symboli takich jak n!, C(n,k), V(n,k). Bardzo ważna jest też umiejętność czytania treści i wyłapywania wszystkich ograniczeń („co najwyżej”, „dokładnie”, „różne osoby” itp.).

Za co dokładnie są punkty w zadaniach kombinatorycznych na maturze rozszerzonej?

Punkty są przyznawane głównie za trzy elementy: poprawny model matematyczny, logiczne rozbicie zadania na przypadki oraz poprawne obliczenia. Nawet jeśli ostateczny wynik liczbowy będzie zły, możesz dostać część punktów za dobrze rozpoczęte rozwiązanie i właściwą metodę.

Egzaminator zwraca uwagę, czy:

• wiesz, co liczysz (np. C(n,k) zamiast „jakiegoś” n!),
• uwzględniasz wszystkie warunki z treści (np. „bez powtórzeń”, „obok siebie”, „nie obok siebie”),
• nie liczysz tych samych możliwości dwa razy i nie komplikujesz niepotrzebnie modelu.

Dlaczego zadania z kombinatoryki sprawiają tyle problemów na maturze?

Główny problem zwykle nie leży w samym liczeniu, tylko w zbudowaniu poprawnego modelu. Treści zadań są często krótkie, ale „naładowane” warunkami i łatwo coś przeoczyć: pomylić „z powtórzeniami” z „bez powtórzeń”, zapomnieć o warunku „co najwyżej” albo potraktować dwa identyczne ustawienia jako różne.

Trudność wynika też z konieczności szybkiego przełączania się między różnymi schematami (permutacje, wariacje, kombinacje) oraz stosowania dodatkowych technik, takich jak zliczanie przez dopełnienie, zasada włączania-wyłączania czy podział na przypadki. Bez „obycia” z typowymi zadaniami ten wybór metody zajmuje zbyt dużo czasu.

Jak szybko rozpoznać, czy użyć permutacji, wariacji czy kombinacji?

Najprostszy sposób to przejść krótką checklistę:

• Czy używasz wszystkich elementów? Jeśli tak – myśl o permutacjach; jeśli nie – o wariacjach lub kombinacjach.
• Czy kolejność ma znaczenie? Jeśli tak – wariacje lub permutacje; jeśli nie – kombinacje.
• Czy elementy mogą się powtarzać? Jeśli tak – rozważ „z powtórzeniami” (np. n^k, permutacje z powtórzeniami, kombinacje z powtórzeniami).
• Czy elementy są odróżnialne? Jeśli nie (np. identyczne cukierki) – zazwyczaj potrzebne są modele z powtórzeniami.

Z czasem, po przećwiczeniu wielu przykładów, rozpoznawanie typu zadania staje się automatyczne i nie wymaga długiego zastanawiania się, „czy to jest kombinacja czy wariacja”.

Jakie typy zadań kombinatorycznych najczęściej pojawiają się na maturze rozszerzonej?

W arkuszach bardzo często powtarzają się podobne schematy. Najpopularniejsze to:

• ustawianie osób, liter, liczb w szeregu lub kole (permutacje z warunkami),
• tworzenie haseł, kodów, numerów z określonymi wymaganiami (np. bez powtórzeń, z dokładnie dwiema samogłoskami),
• losowania z urny, talii kart, zbioru uczniów – często połączone z rachunkiem prawdopodobieństwa,
• podziały na grupy, pary, ławki, dyżury (kombinacje, czasem z warunkami),
• rozmieszczenia z dodatkowymi warunkami typu „obok siebie”, „nie obok siebie”, „w rogach, przy oknie”.

Znajomość tych schematów pozwala szybciej dobrać właściwy model, zamiast za każdym razem „odkrywać Amerykę na nowo”.

Jak skutecznie uczyć się kombinatoryki do matury rozszerzonej?

Najważniejsze jest wyćwiczenie rozpoznawania typowych modeli, a nie wkuwanie samych wzorów. Dobrym planem jest:

• powtórzenie definicji i wzorów na permutacje, wariacje i kombinacje (z i bez powtórzeń),
• rozwiązywanie serii zadań jednego typu (np. najpierw same permutacje z warunkami),
• analiza rozwiązań krok po kroku, aby zrozumieć, dlaczego wybrano dany model i jak podzielono zadanie na przypadki.

Warto też świadomie stosować zasadę mnożenia i dodawania oraz liczenie przez dopełnienie. Im więcej zadań „z katalogu” przerobisz, tym szybciej zaczniesz widzieć, która metoda „pasuje” do danej treści.

Jakie są najczęstsze błędy w zadaniach kombinatorycznych na maturze?

Do najczęstszych błędów należą:

• podwójne liczenie tych samych możliwości (traktowanie dwóch identycznych ustawień jako różnych),
• pomijanie części warunków z treści, np. „co najwyżej”, „różne osoby”, „bez powtórzeń”,
• dobieranie zbyt skomplikowanego modelu tam, gdzie wystarczyłoby proste drzewko, tabelka lub policzenie kilku przypadków „z ręki”.

Wielu uczniów traci też punkty na etapie obliczeń: mylą się przy przekształceniach silni, źle redukują ułamki lub mylą symbole (np. zapisują C(n,k), ale liczą jak wariacje). Dlatego oprócz samego modelu trzeba ćwiczyć także rachunki i zapis rozwiązania.

Najważniejsze punkty

• Kombinatoryka na rozszerzeniu jest trudna głównie przez złożone warunki w treści zadań; problemem rzadko jest samo liczenie, częściej poprawne zbudowanie modelu.
• Kluczowa umiejętność to szybkie rozpoznawanie typu zadania (permutacje, wariacje, kombinacje; z powtórzeniami/bez; kolejność istotna/nieistotna) i dobór odpowiedniego schematu liczenia.
• Na maturze najwięcej punktów zdobywa się za poprawny model, logiczny podział na przypadki oraz bezbłędne obliczenia z użyciem symboli takich jak n!, C(n,k), V, P.
• Typowe błędy to podwójne liczenie tych samych ustawień, pomijanie warunków typu „co najwyżej”, „różne”, „obok siebie” oraz nadmierne komplikowanie modelu zamiast prostych metod (drzewo, tabelka).
• W arkuszach powtarzają się konkretne schematy: liczenie wariantów ustawień, tworzenie kodów i numerów, losowania z urny lub kart, podziały na grupy oraz rozmieszczenia z dodatkowymi ograniczeniami.
• Permutacje opisują ustawianie wszystkich elementów (zwykłe lub z powtórzeniami), a w zadaniach maturalnych często występują z dodatkowymi warunkami, które rozwiązuje się przez blokowanie pozycji, traktowanie elementów jako „paczki” lub liczenie przez dopełnienie.
• Wariacje stosuje się, gdy wybieramy tylko część elementów i kolejność ma znaczenie: bez powtórzeń (funkcje, miejsca w szeregu) lub z powtórzeniami (kody, szyfry, numery).