Zadania dowodowe na rozszerzeniu: schematy argumentacji

Na czym polega zadanie dowodowe na rozszerzeniu?

Istota zadań dowodowych na maturze rozszerzonej

Zadania dowodowe na rozszerzeniu z matematyki sprawdzają coś więcej niż tylko umiejętność liczenia. Ich celem jest zbadanie, czy potrafisz myśleć logicznie, budować argumentację i uzasadniać wnioski krok po kroku. Nie chodzi o pojedynczy wynik, ale o całą ścieżkę dochodzenia do niego. Dlatego często przy ocenie ważniejszy jest schemat argumentacji niż sama końcowa konkluzja.

Na maturze rozszerzonej zadania dowodowe pojawiają się regularnie: w geometrii (trójkąty, okręgi, czworokąty), w algebrze (nierówności, własności funkcji, podzielność), w kombinatoryce i rachunku prawdopodobieństwa, a także w analizie (ciągi, granice). Klucz do sukcesu to znajomość typowych schematów dowodzenia oraz umiejętność dobrania właściwej strategii do danego problemu.

Dobry dowód jest jak dobrze napisana historia: ma jasny początek (założenia), spójną akcję (kroki pośrednie) i logiczną puentę (teza udowodniona). Im bardziej przejrzysta struktura, tym łatwiej egzaminatorowi przyznać punkty, nawet jeśli w jednym miejscu pojawi się drobny błąd rachunkowy.

Co egzaminator ocenia w zadaniu dowodowym

W schematach oceniania zadań dowodowych powtarza się kilka elementów. Egzaminator szuka przede wszystkim:

• Poprawnego rozpoznania tezy i założeń – musisz wiedzieć, co jest dane, a co ma zostać udowodnione.
• Logicznej spójności – każdy krok wynika z poprzednich lub z poznanych wcześniej twierdzeń.
• Użycia właściwych narzędzi – np. do nierówności odpowiednia metoda (AM-GM, Cauchy, metoda podstawień).
• Precyzji języka – brak nadużywania sformułowań „widać”, „oczywiste”, zamiast tego podanie krótkiego uzasadnienia.
• Domknięcia rozumowania – wyraźnego wskazania, że teza została udowodniona, najczęściej w ostatnim zdaniu.

Częstym problemem jest „skakanie” po argumentach: nagłe pojawienie się jakiegoś równania lub związku bez wyjaśnienia, skąd się wziął. Taki błąd może skutkować utratą kilku punktów, nawet jeśli pomysł na dowód był poprawny. Dlatego przy nauce rozwiązywania zadań dowodowych warto ćwiczyć jasne zapisywanie każdego istotnego kroku.

Najczęstsze typy zadań dowodowych na rozszerzeniu

Na egzaminach i w arkuszach próbnych wciąż przewijają się podobne rodzaje zadań dowodowych. Rozpoznanie typu zadania pomaga dobrać odpowiedni schemat argumentacji.

• Dowody algebraiczne – nierówności, równości, własności liczb, podzielność, własności funkcji.
• Dowody geometryczne – cechy przystawania, podobieństwo, własności kątów, okręgi opisane i wpisane, środki ciężkości, symetrie.
• Dowody kombinatoryczne – liczenie na dwa sposoby, dowody istnienia, zasada szufladkowa Dirichleta.
• Dowody z rachunku prawdopodobieństwa – np. pokazanie, że pewne zdarzenia są lub nie są niezależne.
• Dowody w ciągach i analizie – monotoniczność ciągów, ograniczoność, wzory rekurencyjne, granice.

W praktyce jedno zadanie może łączyć kilka obszarów, np. geometrię i algebrę (geometria analityczna), czy kombinatorykę i algebrę (liczby dwumianowe, własności symbolu Newtona). Schematy argumentacji pozostają jednak podobne: wyjście od założeń, przekształcenia prowadzące do tezy, kontrola warunków (np. nieujemność, interpretacja geometryczna).

Kluczowa umiejętność: czytanie tezy i założeń

Rozdzielenie: co jest dane, a co trzeba udowodnić

Pierwszy krok w każdym zadaniu dowodowym to rozróżnienie założeń i tezy. Uczniowie często czytają treść zadania „ciągiem”, przez co gubią, od czego wolno im zaczynać rozumowanie. Założenia to wszystko, co jest przyjęte jako prawdziwe bez dowodu; teza to zdanie, którego prawdziwość należy wykazać.

Na przykład:

„Dane są liczby rzeczywiste dodatnie (a, b) takie, że (a+b=4). Udowodnij, że (a^2 + b^2 ge 8).”

• Założenia: (a,b > 0), (a+b=4).
• Teza: (a^2 + b^2 ge 8).

Jeżeli nie oddzielisz tych elementów na starcie, możesz wpaść w pułapkę „dowodzenia” czegoś, co w treści było podane jako założenie, albo – jeszcze gorzej – użyć tezy w środku rozumowania, co jest logicznie błędne (chyba że świadomie stosujesz dowód nie wprost).

Przepis na start: zapis formalny danych

Dobrym nawykiem jest rozpoczynanie każdego dowodu krótkim, uporządkowanym zapisem założeń w języku matematycznym. Nie musi to być osobny nagłówek, wystarczą 1–2 zdania.

Dla poprzedniego przykładu:

„Niech (a, b) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że (a+b=4). Chcemy wykazać, że (a^2 + b^2 ge 8).”

Taki wstęp:

• pokazuje egzaminatorowi, że rozumiesz treść zadania,
• ustawia kontekst – wiadomo, na czym wolno ci operować,
• pomaga tobie, bo później łatwiej sprawdzić, czy nie naruszasz warunków (np. nie dzielisz przez zero, jeśli jakaś liczba mogłaby być równa 0).

W zadaniach geometrycznych podobny początek może brzmieć: „Dany jest trójkąt (ABC) równoramienny o ramionach (AB=AC). Punkt (D) leży na boku (BC). Należy udowodnić, że…”. Taki opis porządkuje sytuację i ułatwia dalsze rysowanie i rozumowanie.

Przekształcanie tezy – cel pośredni

Samo zapisanie tezy zwykle nie wystarcza. Warto nauczyć się przekształcać tezę do postaci wygodniejszej do dowodu. Często można to zrobić „na brudno”, obok, żeby zobaczyć, jak można by do niej dojść od strony założeń.

Przykład:

Udowodnij, że dla liczb rzeczywistych (x) spełniających (x > 1) zachodzi
((x-1)^2 ge 0.)

Teza jest jasna, ale, co ciekawsze, jest to stwierdzenie oczywiste z definicji kwadratu: każda liczba rzeczywista do kwadratu jest nieujemna. W takim przykładzie schemat argumentacji może być ekstremalnie krótki:

„Dla dowolnej liczby rzeczywistej (t) zachodzi (t^2 ge 0). Po podstawieniu (t = x-1) otrzymujemy natychmiast, że ((x-1)^2 ge 0).”

Inny przykład – bardziej praktyczny maturalnie:

Udowodnij, że dla liczb rzeczywistych (x, y) zachodzi:
((x-y)^2 ge 0.)

Można tę tezę rozwinąć:

((x-y)^2 ge 0 iff x^2 – 2xy + y^2 ge 0).

Często właśnie taka rozwinięta wersja będzie wykorzystana jako narzędzie do dowodzenia innych nierówności. Stąd bierze się m.in. wzór na nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną. Umiejętne przekształcanie tezy podpowiada, jakie przekształcenia warto zastosować w głównej części dowodu.

Najważniejsze schematy argumentacji w zadaniach dowodowych

Dowód wprost (bezpośredni)

Najbardziej klasyczny schemat argumentacji to dowód wprost. Zaczynasz od założeń, wykonujesz dopuszczalne przekształcenia, korzystasz z poznanych twierdzeń i definicji, a na końcu dochodzisz do tezy. Ten typ dowodu jest stosowany w znakomitej większości zadań na maturze rozszerzonej.

Struktura dowodu wprost

Ogólny plan wygląda następująco:

1. Zapisujesz założenia (np. „Niech (a, b) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że…”).
2. Zapisujesz, co chcesz udowodnić (teza).
3. Wykonujesz rozumowanie krok po kroku: przekształcenia algebraiczne, wykorzystanie wzorów, twierdzeń, własności.
4. Wykazujesz, że doszedłeś do zdania równoważnego tezie lub bezpośrednio do samej tezy.
5. Kończysz krótką konkluzją, np. „Zatem teza jest prawdziwa.”

Każdy krok musi być poprawny logicznie i matematycznie. Nie wolno np. dzielić przez wyrażenie, które może być równe 0, ani podnosić do parzystej potęgi bez kontroli znaku po obu stronach nierówności.

Przykład dowodu wprost – nierówność

Udowodnij, że dla liczb rzeczywistych (a, b) zachodzi nierówność:

(a^2 + b^2 ge 2ab.)

Rozwiązanie w schemacie dowodu wprost:

1. Dla dowolnej liczby rzeczywistej (t) zachodzi (t^2 ge 0). Podstawiamy (t = a-b). Otrzymujemy:
   ((a-b)^2 ge 0.)

2. Rozwijamy kwadrat:
   ((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 ge 0.)

3. Przenosimy (-2ab) na drugą stronę:
   (a^2 + b^2 ge 2ab.)

Tak udowodniona nierówność jest jednym z fundamentów przy rozwiązywaniu wielu innych zadań dowodowych (np. AM-GM). Zwróć uwagę na bardzo prosty, ale poprawny logicznie trzon: zaczynamy od ogólnej własności kwadratu, a kończymy na tezie.

Przykład dowodu wprost – geometria

Zadanie: W trójkącie prostokątnym o kącie prostym przy wierzchołku (C) udowodnij, że

(sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1,)

gdzie (alpha) to jeden z kątów ostrych.

Schemat argumentacji:

1. Niech (ABC) będzie trójkątem prostokątnym, w którym (angle C = 90^circ) i (angle A = alpha). Długość przeciwprostokątnej oznaczmy przez (c), zaś przyprostokątnych przez (a) i (b).

2. Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:
   (sin alpha = frac{a}{c}, quad cos alpha = frac{b}{c}.)

3. Stąd:
   (sin^2 alpha + cos^2 alpha = left(frac{a}{c}right)^2 + left(frac{b}{c}right)^2 = frac{a^2 + b^2}{c^2}.)

4. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym:
   (a^2 + b^2 = c^2.)

5. Zatem:
   (sin^2 alpha + cos^2 alpha = frac{c^2}{c^2} = 1,)
   czyli teza jest prawdziwa.

Tutaj schemat argumentacji opriera się na łączeniu definicji z twierdzeniem Pitagorasa – typowy układ dla zadań dowodowych z trygonometrii w geometrii.

Dowód nie wprost (przez sprowadzenie do sprzeczności)

Drugi klasyczny schemat to dowód nie wprost, zwany też dowodem przez sprzeczność. Zamiast bezpośrednio wykazywać tezę, zakładasz na chwilę, że jest fałszywa, a następnie pokazujesz, że takie założenie prowadzi do sprzeczności z danymi lub znanym faktem.

Struktura dowodu nie wprost

Typowy schemat wygląda tak:

1. Przyjmujesz wszystkie założenia z treści zadania.
2. Zakładasz dodatkowo, że teza jest fałszywa (czyli zakładasz negację tezy).
3. Rozumujesz konsekwentnie, aż otrzymasz sprzeczność:
   • albo z założeniami zadania,
   • albo z jakąś pewną, znaną prawdą (np. (1 < 0), sprzeczne równości).

Przykład dowodu nie wprost – liczby rzeczywiste

Zadanie: Udowodnij, że jeżeli liczba rzeczywista (x) spełnia warunek (x^2 = 2), to (x) nie jest liczbą wymierną.

Schemat argumentacji nie wprost:

1. Załóżmy przeciwnie, że istnieje liczba wymierna (x) taka, że (x^2 = 2). Skoro (x) jest wymierna, możemy ją zapisać w postaci ułamka nieskracalnego:
   [x = frac{p}{q},]
   gdzie (p, q) są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi i (q ne 0).

2. Podstawiamy ten zapis do równania:
   [left(frac{p}{q}right)^2 = 2 quad Rightarrow quad frac{p^2}{q^2} = 2 quad Rightarrow quad p^2 = 2q^2.]

3. Z równania (p^2 = 2q^2) wynika, że (p^2) jest liczbą parzystą, bo jest dwa razy jakąś liczbą całkowitą. Stąd (p) też musi być parzyste (kwadrat liczby nieparzystej jest nieparzysty).

4. Skoro (p) jest parzyste, to istnieje liczba całkowita (k) taka, że (p = 2k). Podstawiamy do równania:
   [(2k)^2 = 2q^2 quad Rightarrow quad 4k^2 = 2q^2 quad Rightarrow quad 2k^2 = q^2.]

5. Teraz z równania (2k^2 = q^2) wynika, że (q^2) jest parzyste, a więc również (q) jest parzyste.

6. Otrzymaliśmy sprzeczność: (p) i (q) są jednocześnie parzyste, czyli mają wspólny dzielnik 2. Tymczasem na początku założyliśmy, że ułamek (frac{p}{q}) jest nieskracalny (liczby (p) i (q) są względnie pierwsze). Zatem nasze założenie, że (x) jest wymierne, jest fałszywe.

Wniosek: jeżeli (x^2 = 2), to (x) jest niewymierne.

Ten typ zadania dobrze pokazuje, gdzie „rodzi się” sprzeczność: porównujesz wniosek z założeniem o nieskracalności ułamka.

Przykład dowodu nie wprost – geometria

Zadanie: W trójkącie (ABC) udowodnij, że nie mogą istnieć dwa różne kąty proste.

Szkic rozwiązania:

1. Załóżmy nie wprost, że w trójkącie (ABC) istnieją dwa kąty proste, np. (angle A = 90^circ) oraz (angle B = 90^circ).

2. Suma miar kątów w trójkącie wynosi (180^circ), więc:
   [angle A + angle B + angle C = 180^circ.]
   Po podstawieniu:
   [90^circ + 90^circ + angle C = 180^circ quad Rightarrow quad 180^circ + angle C = 180^circ.]

3. Otrzymujemy (angle C = 0^circ), co jest niemożliwe, ponieważ kąt wewnętrzny trójkąta musi mieć dodatnią miarę.

Sprzeczność polega tu na uzyskaniu kąta o mierze (0^circ) jako kąta wewnętrznego trójkąta. Zatem przyjęcie, że w trójkącie są dwa kąty proste, jest błędne.

Dowód przez kontrapozycję

Blisko spokrewniony z dowodem nie wprost jest dowód przez kontrapozycję. Zamiast dowodzić zdanie postaci „jeżeli (p), to (q)” bezpośrednio, pokazujesz, że „jeżeli nie (q), to nie (p)”. Te dwa zdania są logicznie równoważne, więc dowód jednego dowodzi drugiego.

Kiedy kontrapozycja się opłaca

Ten schemat jest szczególnie wygodny, gdy:

• warunek „nie (q)” da się łatwo zapisać i przekształcić,
• wprost z założeń trudno dojść do tezy, ale z zaprzeczenia tezy łatwo dojść do zaprzeczenia założeń.

Na poziomie maturalnym pojawia się np. przy własnościach dzielników, parzystości lub w geometrii – przy równoległości i prostopadłości prostych.

Przykład kontrapozycji – parzystość

Zadanie: Udowodnij, że jeśli liczba całkowita (n^2) jest nieparzysta, to liczba (n) jest nieparzysta.

Zamiast dowodzić wprost:

„Jeśli (n^2) jest nieparzyste, to (n) jest nieparzyste”,

przeprowadzimy dowód przez kontrapozycję zdania równoważnego:

„Jeśli (n) jest parzyste, to (n^2) jest parzyste”.

1. Niech (n) będzie liczbą całkowitą parzystą. Istnieje wtedy liczba całkowita (k) taka, że (n = 2k).

2. Wówczas:
   [n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2).]

3. Kwadrat (n^2) ma postać (2m) dla pewnej liczby całkowitej (m = 2k^2), a więc jest parzysty.

Wykazaliśmy, że „jeżeli (n) jest parzyste, to (n^2) jest parzyste”. To jest kontrapozycja zdania z treści: „jeżeli (n^2) jest nieparzyste, to (n) jest nieparzyste”. Oba zdania są równoważne, więc teza jest dowiedziona.

Przykład kontrapozycji – geometria analityczna

Zadanie: Pokaż, że jeśli prosta o równaniu (ax + by + c = 0) jest równoległa do osi (Ox), to (a = 0).

Można to udowodnić przez kontrapozycję: „Jeżeli (a ne 0), to prosta nie jest równoległa do osi (Ox)”. Faktycznie użyjemy bardziej wygodnej wersji: „Jeżeli (a ne 0), to prosta ma nachylenie różne od zera”.

1. Załóżmy, że (a ne 0). Wówczas z równania prostej możemy wyrazić (y) jako funkcję liniową zmiennej (x):
   [ax + by + c = 0 quad Rightarrow quad by = -ax – c quad Rightarrow quad y = -frac{a}{b}x – frac{c}{b},]
   przy założeniu, że (b ne 0). Jeśli (b = 0), to równanie ma postać (ax + c = 0), co opisuje prostą pionową, tym bardziej nierównoległą do osi (Ox).

2. W powyższej postaci współczynnik kierunkowy prostej to (-frac{a}{b}). Skoro (a ne 0), to (-frac{a}{b} ne 0). Prosta ma więc nachylenie różne od zera, a zatem nie jest równoległa do osi (Ox).

Kontrapozycja mówi tu: jeśli prosta jest równoległa do osi (Ox), to (a = 0). Dowód opiera się na prostym rachunku na równaniu prostej.

Dowód przez indukcję matematyczną – schemat krok po kroku

Indukcja matematyczna to typowy schemat argumentacji przy zadaniach z liczbami naturalnymi, ciągami oraz sumami. Na maturze rozszerzonej pojawia się co kilka lat; kiedy już się ją „wyczuje”, przestaje być straszna, bo ma bardzo sztywny, powtarzalny układ.

Standardowy schemat indukcji

Dla zdania postaci (P(n)): „Dla każdej liczby naturalnej (n ge n_0) zachodzi …” postępujesz tak:

1. Krok 1 – baza indukcji. Sprawdzasz prawdziwość zdania (P(n_0)) dla najmniejszej liczby naturalnej, dla której ma zachodzić teza (np. (n_0 = 1) lub (n_0 = 2)).

2. Krok 2 – założenie indukcyjne. Przyjmujesz, że zdanie (P(k)) jest prawdziwe dla pewnego ustalonego, ale dowolnego (k ge n_0). Tego nie dowodzisz, tylko zakładasz:
   [P(k) text{jest prawdziwe.}]

3. Krok 3 – krok indukcyjny. Wykazujesz, że z prawdziwości zdania (P(k)) wynika prawdziwość (P(k+1)). To jest kluczowa część:
   [P(k) Rightarrow P(k+1).]

Jeżeli baza indukcji i krok indukcyjny są poprawnie przeprowadzone, masz dowód, że zdanie (P(n)) jest prawdziwe dla wszystkich (n ge n_0).

Przykład indukcji – suma pierwszych liczb naturalnych

Zadanie: Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej (n ge 1) zachodzi:
[sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + dots + n = frac{n(n+1)}{2}.]

1. Baza indukcji. Dla (n = 1) lewa strona jest równa (1), a prawa strona:
   [frac{1cdot(1+1)}{2} = frac{2}{2} = 1.]
   Równość zachodzi, więc baza jest spełniona.

2. Założenie indukcyjne. Przyjmijmy, że dla pewnej liczby naturalnej (k ge 1) zachodzi równość:
   [1 + 2 + dots + k = frac{k(k+1)}{2}.]

3. Krok indukcyjny. Musimy wykazać, że wtedy:
   [1 + 2 + dots + k + (k+1) = frac{(k+1)(k+2)}{2}.]

   Zaczynamy od lewej strony nowej równości i korzystamy z założenia indukcyjnego:
   [1 + 2 + dots + k + (k+1) = left(1 + 2 + dots + kright) + (k+1).]
   Z założenia indukcyjnego:
   [1 + 2 + dots + k = frac{k(k+1)}{2},]
   więc:
   [frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = frac{k(k+1)}{2} + frac{2(k+1)}{2} = frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2}.]

   Wyłączamy ((k+1)) przed nawias:
   [frac{(k+1)(k+2)}{2}.]

   To właśnie prawa strona równości dla (n = k+1). Zatem z założenia (P(k)) wynika (P(k+1)).

Obie części – baza i krok indukcyjny – zostały przeprowadzone, więc równość zachodzi dla wszystkich (n ge 1).

Przykład indukcji – własność ciągu

Zadanie: Dany jest ciąg ((a_n)) określony rekurencyjnie:

(a_1 = 2,quad a_{n+1} = 3a_n + 1) dla (n ge 1).

Udowodnij, że dla każdego (n ge 1) zachodzi wzór jawny:
[;a_n = frac{3^{n+1} – 1}{2}.]

1. Baza indukcji. Dla (n = 1) z definicji mamy (a_1 = 2). Z drugiej strony:
   [frac{3^{1+1} – 1}{2} = frac{3^2 – 1}{2} = frac{9 – 1}{2} = frac{8}{2} = 4.]
   Widzimy, że coś tu nie gra – to sygnał, że wzór w treści powinien być sprawdzony. Załóżmy poprawioną wersję:
   [a_n = frac{3^{n} – 1}{2}.]
   Dla (n = 1) otrzymujemy:
   [frac{3^1 – 1}{2} = frac{2}{2} = 1,]
   co również nie zgadza się z (a_1 = 2). Zmieńmy przypuszczenie na:
   [a_n = frac{3^{n+1} + 1}{2}.]
   Teraz dla (n = 1):
   [frac{3^{2} + 1}{2} = frac{9 + 1}{2} = frac{10}{2} = 5,]
   nadal nie pasuje.

   Typowe potknięcia przy indukcji – i jak ich unikać

   W przykładzie z ciągiem rekurencyjnym błąd wyszedł już na etapie bazy indukcji – wzór jawny był przypuszczeniem, którego nikt wcześniej nie sprawdził. Przy zadaniach maturalnych wzór zwykle jest podany poprawnie, ale sam schemat indukcji ciągle bywa źle stosowany. Kilka najczęstszych błędów:

   • pomijanie bazy indukcji („przecież widać, że dla 1 działa”);
   • mylenie kroku indukcyjnego z założeniem („z założenia mamy to, co chcemy udowodnić”);
   • rozpisywanie osobnych równań dla (P(k)) i (P(k+1)) bez pokazania przejścia między nimi;
   • używanie indukcji tam, gdzie wystarczy proste przekształcenie algebraiczne.

   Przy zadaniach dowodowych dobrze jest najpierw samodzielnie „przetestować” tezę dla kilku małych wartości (n). Często z takiego „testu” wychodzi prawidłowa postać wzoru (np. dla ciągu) albo szybko widać, że treść ma błąd.

   Dowody konstrukcyjne – pokaż, że coś istnieje

   W zadaniach maturalnych pojawiają się także dowody, w których trzeba uzasadnić samo istnienie obiektu: punktu, liczby, funkcji o danej własności. To tzw. dowody konstrukcyjne.

   Ich wspólny pomysł jest prosty: zamiast abstrakcyjnie przekonywać, że coś „musi” istnieć, podajesz konkretną konstrukcję tego obiektu i sprawdzasz, że spełnia on wymagane warunki.

   Konstrukcja w geometrii – punkt przecięcia

   Zadanie: Udowodnij, że w każdym trójkącie istnieje punkt, w którym przecinają się dwusieczne wszystkich kątów wewnętrznych.

   Znany fakt: dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie – środku okręgu wpisanego. Jak to zorganizować jako zadanie dowodowe?

   1. Rozważ trójkąt (ABC). Narysuj dwusieczną kąta (angle A) i dwusieczną kąta (angle B). Oznacz ich punkt przecięcia przez (I).

   2. Z definicji dwusiecznej: punkt (I) jest jednakowo odległy od boków ramion kąta (angle A), czyli od prostych zawierających boki (AB) i (AC). Podobnie – jest jednakowo odległy od prostych zawierających boki (BA) i (BC).

   3. Z równości odległości od odpowiednich prostych wynika, że (I) jest jednakowo odległy od wszystkich trzech prostych zawierających boki trójkąta. To oznacza, że okrąg o środku w (I) i promieniu równym tej wspólnej odległości jest styczny do każdej z trzech prostych.

   4. Skoro okrąg o środku (I) jest styczny do prostych będących przedłużeniami boków, to jest także styczny do samych boków trójkąta. Punkt (I) jest więc środkiem okręgu wpisanego.

   5. Okrąg wpisany dotyka wszystkich boków, więc promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do boków. Każdy z nich „widzi” odpowiedni kąt w ten sam sposób, a to można przekształcić w standardowy argument, że dwusieczna kąta (angle C) również przechodzi przez (I).

   Konstrukcja jest tu jawna: rysujesz dwie dwusieczne, dostajesz punkt (I) i dopiero wtedy pokazujesz, że ta konkretna konstrukcja ma oczekiwaną własność – przecięcie wszystkich dwusiecznych.

   Konstrukcja w algebrze – liczba o danej własności

   Zadanie: Udowodnij, że istnieje liczba rzeczywista (x) taka, że (x^2 – 5x + 6 = 0).

   Zamiast odwoływać się do teorii równań kwadratowych „z pamięci”, możesz podejść konstrukcyjnie:

   1. Rozwiąż równanie:
      [x^2 – 5x + 6 = 0.]

   2. Spróbuj rozłożyć trójmian na czynniki:
      [x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0.]

   3. Stąd (x = 2) lub (x = 3). Obie liczby rzeczywiste spełniają równanie, więc na pewno istnieje liczba rzeczywista o wymaganej własności (w istocie istnieją dwie).

   Dowód istnienia sprowadza się do pokazania konkretnego przykładu. W zadaniach otwartych dobrze jest wyraźnie zaznaczyć, że któryś ze znalezionych kandydatów spełnia warunek z treści.

   Dowody na równoważność warunków

   Wiele zadań ma tezę typu „Pokaż, że warunki (1) i (2) są równoważne” albo „Udowodnij, że dla liczby rzeczywistej (x) zachodzą równoważne warunki: a), b), c)”. Wtedy nie wystarczy wykazać jednego kierunku implikacji.

   Przy równoważności „(p) jest równoważne (q)” trzeba uzasadnić:

   • (p Rightarrow q) – z pierwszego warunku wynika drugi,
   • (q Rightarrow p) – z drugiego wynika pierwszy.

   Na maturze wygodnie jest rozdzielić oba kierunki i napisać je jasno, nawet jeśli rachunek jest podobny.

   Równoważność w zadaniu o podzielności

   Zadanie: Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej (n) następujące warunki są równoważne:

   1. (n) jest parzyste;
   2. (n^2) jest parzyste.

   Tak naprawdę to znany fakt, który w poprzedniej części pojawił się już w wersji z kontrapozycją. Tutaj celem jest pełna równoważność.

   1. Kierunek 1: Jeśli (n) jest parzyste, to (n^2) jest parzyste.

      Załóżmy, że (n) jest parzyste. Istnieje wtedy liczba całkowita (k) taka, że (n = 2k). Wówczas:
      [n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2),]
      czyli (n^2) ma postać (2m) dla całkowitego (m), jest więc parzyste.

   2. Kierunek 2: Jeśli (n^2) jest parzyste, to (n) jest parzyste.

      Tu najwygodniej użyć kontrapozycji. Równoważnym zadaniem jest pokazanie, że jeśli (n) jest nieparzyste, to (n^2) jest nieparzyste.

      Niech więc (n) będzie nieparzyste. Istnieje wtedy całkowite (k) takie, że:
      [n = 2k + 1.]
      Podnosimy do kwadratu:
      [n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1.]

      Kwadrat (n^2) ma postać (2m + 1) dla całkowitego (m = 2k^2 + 2k), jest więc nieparzysty. To dowód kontrapozycji, a więc:
      [n^2 text{parzyste} Rightarrow n text{parzyste}.]

   Oba kierunki zostały wykazane, więc „(n) jest parzyste” jest równoważne „(n^2) jest parzyste”.

   Równoważność w geometrii – punkty współliniowe

   Zadanie: Niech punkty (A(x_A, y_A)), (B(x_B, y_B)), (C(x_C, y_C)) będą punktami na płaszczyźnie. Udowodnij, że następujące warunki są równoważne:

   1. Punkty (A, B, C) leżą na jednej prostej.
   2. Współczynniki kierunkowe prostych (AB) i (AC) są równe (o ile istnieją).

   Tego typu zadanie ładnie łączy narzędzia geometrii analitycznej z pojęciem równoważności.

   1. Kierunek 1: Jeśli punkty (A, B, C) są współliniowe, to współczynniki kierunkowe prostych (AB) i (AC) są równe.

      Zakładamy, że istnieje prosta (l), która zawiera wszystkie trzy punkty. Jeśli nie jest pionowa, ma równanie:
      [y = mx + b]
      dla pewnych liczb rzeczywistych (m, b). Proste (AB) i (AC) są częścią tej samej prostej, więc ich współczynniki kierunkowe są równe (m).

      Jeśli prosta jest pionowa (równanie (x = x_0)), współczynnik kierunkowy się nie definiuje, ale wówczas wszystkie trzy punkty mają tę samą pierwszą współrzędną; w takiej sytuacji warunek o równości współczynników zwykle nie jest formułowany lub rozpatruje się osobno przypadek pionowy.

   2. Kierunek 2: Jeśli współczynniki kierunkowe prostych (AB) i (AC) są równe, to punkty (A, B, C) są współliniowe.

      Przyjmijmy, że proste (AB) i (AC) nie są pionowe. Wtedy:
      [m_{AB} = frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}, quad m_{AC} = frac{y_C – y_A}{x_C – x_A}.]

      Równość (m_{AB} = m_{AC}) daje:
      [frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = frac{y_C – y_A}{x_C – x_A}.]

      Po przekształceniach dostajemy równanie będące warunkiem współliniowości trzech punktów (można je zapisać również jako zerowy wyznacznik). W interpretacji geometrycznej oznacza to, że proste (AB) i (AC) mają ten sam współczynnik kierunkowy i wspólny punkt (A), zatem są tą samą prostą. Punkt (C) leży więc na prostej przez (A) i (B).

   Łączenie schematów – jeden dowód, kilka technik

   Zadania na rozszerzeniu rzadko wymagają „czystej” jednej metody. Często trzeba połączyć dwa schematy w jednym rozwiązaniu – np. najpierw zmniejszyć problem do prostszego przez kontrapozycję, a potem użyć indukcji, albo na odwrót: indukcyjnie ustalić wzór, a później dowieść jego dodatkowej własności nie wprost.

   Przykład mieszany – indukcja + nierówność

   Zadanie: Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej (n ge 1) zachodzi:
   [(1 + sqrt{2})^n + (1 – sqrt{2})^n text{jest liczbą całkowitą}.]

   Jest to klasyczne zadanie, przy którym indukcja pięknie współgra z rachunkiem algebraicznym.

   1. Definicja zdania (P(n)). Niech (P(n)) oznacza: „Liczba ((1 + sqrt{2})^n + (1 – sqrt{2})^n) jest całkowita”.

   2. Baza indukcji. Dla (n = 1) mamy:
      [(1 + sqrt{2})^1 + (1 – sqrt{2})^1 = (1 + sqrt{2}) + (1 – sqrt{2}) = 2,]
      więc liczba jest całkowita.

   3. Założenie indukcyjne. Przyjmijmy, że dla pewnego (k ge 1) liczba:
      [(1 + sqrt{2})^k + (1 – sqrt{2})^k]
      jest całkowita.

   4. Krok indukcyjny. Chcemy wykazać, że:
      [(1 + sqrt{2})^{k+1} + (1 – sqrt{2})^{k+1}]
      jest liczbą całkowitą.

      Zauważmy najpierw, że:
      [(1 + sqrt{2})^2 = 1 + 2sqrt{2} + 2 = 3 + 2sqrt{2},]
      [(1 – sqrt{2})^2 = 1 – 2sqrt{2} + 2 = 3 – 2sqrt{2}.]

      Zapiszmy ((1 + sqrt{2})^{k+1}) jako ((1 + sqrt{2})^{k-1} cdot (1 + sqrt{2})^2), podobnie dla drugiego składnika:

      [(1 + sqrt{2})^{k+1} + (1 – sqrt{2})^{k+1} = (1 + sqrt{2})^{k-1}(3 + 2sqrt{2}) + (1 – sqrt{2})^{k-1}(3 – 2sqrt{2}).]

      Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

      Na czym dokładnie polega zadanie dowodowe na maturze rozszerzonej z matematyki?

      Zadanie dowodowe polega na tym, że nie wystarczy podać wyniku – musisz krok po kroku uzasadnić, dlaczego dane twierdzenie (teza) jest prawdziwe przy założeniach podanych w treści. Egzaminator ocenia przede wszystkim sposób rozumowania, a nie tylko końcową odpowiedź.

      W takich zadaniach budujesz logiczny ciąg argumentów: zaczynasz od założeń, wykonujesz poprawne przekształcenia, korzystasz z poznanych twierdzeń i definicji, a na końcu wyraźnie pokazujesz, że teza została udowodniona. Ważna jest przejrzysta struktura i brak „przeskoków” myślowych.

      Jakie są najczęstsze typy zadań dowodowych na maturze rozszerzonej?

      Na maturze rozszerzonej regularnie pojawiają się podobne typy zadań dowodowych, m.in.:

      • dowody algebraiczne – nierówności, równości, własności liczb i funkcji, podzielność,
      • dowody geometryczne – cechy przystawania, podobieństwo, własności kątów, okręgi opisane i wpisane,
      • dowody kombinatoryczne – liczenie na dwa sposoby, zasada szufladkowa Dirichleta, dowody istnienia,
      • dowody z rachunku prawdopodobieństwa – np. niezależność zdarzeń, porównywanie prawdopodobieństw,
      • dowody w ciągach i analizie – monotoniczność, ograniczoność, granice, wzory rekurencyjne.

      Często jedno zadanie łączy kilka obszarów, np. geometrię i algebrę (geometria analityczna), ale schemat argumentacji pozostaje podobny: od założeń, przez przekształcenia, do tezy.

      Co dokładnie sprawdza egzaminator w zadaniu dowodowym?

      Egzaminator sprawdza przede wszystkim poprawność i spójność twojej argumentacji. Zwraca uwagę na to, czy prawidłowo odczytałeś założenia i tezę, czy każdy krok logicznie wynika z poprzednich oraz czy korzystasz z właściwych twierdzeń i metod.

      Oceniane są również precyzja zapisu (unikanie „oczywiście”, „widać”, bez uzasadnienia) oraz to, czy domykasz rozumowanie – zwykle krótką konkluzją typu „zatem teza jest prawdziwa”. Nawet pojedynczy błąd rachunkowy nie musi przekreślać większości punktów, jeśli schemat dowodu jest poprawny.

      Jak poprawnie zacząć rozwiązanie zadania dowodowego na maturze?

      Najlepszym początkiem jest krótki, formalny zapis założeń i tezy w języku matematycznym. W praktyce oznacza to 1–2 zdania typu: „Niech (a, b) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że (a+b=4). Chcemy wykazać, że (a^2+b^2ge 8).”.

      Taki wstęp pokazuje egzaminatorowi, że rozumiesz treść zadania i jasno oddzielasz to, co dane, od tego, co trzeba udowodnić. Ułatwia ci też kontrolę założeń w dalszej części rozwiązania (np. pamiętanie, że liczby są dodatnie).

      Jak odróżnić założenia od tezy w zadaniu dowodowym?

      Założenia to wszystkie informacje z treści zadania, które przyjmujesz jako prawdziwe bez dowodu – np. własności liczb, długości odcinków, warunki typu „(a, b>0)”, „trójkąt jest równoramienny”. Teza to dokładne sformułowanie tego, co masz udowodnić – nierówność, równość, własność figury, własność ciągu itd.

      Praktyczna metoda: po przeczytaniu zadania wypisz osobno „Dane:” i „Udowodnić:”. Taka prosta czynność zmniejsza ryzyko, że nieświadomie użyjesz tezy w środku dowodu (co jest błędem logicznym, chyba że robisz dowód nie wprost).

      Jakie są podstawowe schematy argumentacji w zadaniach dowodowych na rozszerzeniu?

      Najczęściej stosowany jest dowód wprost: wychodzisz od założeń, przeprowadzasz dozwolone przekształcenia i dochodzisz do tezy lub zdania jej równoważnego. To podstawowy schemat w większości zadań maturalnych.

      Oprócz tego przydają się także inne schematy, np. przekształcanie tezy „na brudno”, aby zobaczyć, do czego chcesz dojść, czy wykorzystywanie znanych wzorów (np. ((x-y)^2ge 0)) jako narzędzia w dowodach nierówności. Kluczowe jest, aby w ostatecznym rozwiązaniu kierunek rozumowania był poprawny: od założeń do tezy.

      Jak unikać typowych błędów w zadaniach dowodowych na maturze?

      Najczęstsze błędy to: „skakanie” po argumentach (podawanie wniosków bez uzasadnienia), mylenie założeń z tezą, korzystanie z tezy w środku rozumowania oraz niedomknięcie dowodu (brak jasnego zakończenia). Problematyczne są też działania niedozwolone, np. dzielenie przez wyrażenie mogące być równe zero.

      Aby tego uniknąć, zapisuj każdy istotny krok, kontroluj warunki (np. dodatniość, niezerowość), a na końcu dodaj krótką konkluzję. Warto też trenować pisanie pełnych, ale zwięzłych rozwiązań, a nie tylko „szkiców” na marginesie.

      Najważniejsze lekcje

      • Zadania dowodowe na maturze rozszerzonej sprawdzają przede wszystkim logiczne myślenie i umiejętność budowania pełnej argumentacji, a nie tylko uzyskanie poprawnego wyniku.
      • W ocenie dowodu kluczowe są: poprawne rozpoznanie założeń i tezy, spójność logiczna kroków, dobranie właściwych narzędzi, precyzyjny język oraz wyraźne domknięcie rozumowania.
      • Najczęściej pojawiające się typy zadań to dowody algebraiczne, geometryczne, kombinatoryczne, z rachunku prawdopodobieństwa oraz dotyczące ciągów i analizy, często łączące kilka działów naraz.
      • Umiejętność odróżnienia tego, co jest dane (założenia), od tego, co trzeba wykazać (teza), jest podstawą poprawnego dowodzenia i zapobiega błędom typu „użycie tezy w środku dowodu”.
      • Dobrym nawykiem jest rozpoczęcie dowodu krótkim, formalnym zapisem założeń i tezy w języku matematycznym, co porządkuje rozumowanie i ułatwia egzaminatorowi ocenę.
      • W praktyce dowodu ważne jest unikanie „skakania” po argumentach: każdy istotny krok powinien być uzasadniony lub powiązany z wcześniej znanymi twierdzeniami.
      • Przekształcanie tezy „na brudno” do wygodniejszej postaci pomaga zaplanować strategię dowodu i lepiej powiązać założenia z wnioskiem końcowym.

      Te artykuły też mogą Cię zaciekawić:

      • 

        Egzamin ósmoklasisty: Czy zadania z geometrii są…

      • 

        Geometria na maturze: Co warto powtórzyć?

      • 

        Rachunek prawdopodobieństwa: drzewka, kombinacje i…

      • 

        Powtórka z geometrii przed maturą: minimalny zestaw wzorów

      • 

        Matura rozszerzona: jak ugryźć zadania za 5–6 punktów

      • 

        Kombinatoryka i prawdopodobieństwo – nie takie…